MA212 概率论与数理统计 2023年春 期末试卷

(附注: 分位数)

$U_{0.95}=1.65,U_{0.975}=1.96,U_{0.99}=2.33,U_{0.995}=2.58$

${\chi }_{0.975}^2(15)=27.49,{\chi }_{0.95}^2(15)=25.00,{\chi }_{0.025}^2(15)=6.26,{\chi }_{0.05}^2(15)=7.26$

${\chi }_{0.975}^2(16)=28.85,{\chi }_{0.95}^2(16)=26.30,{\chi }_{0.025}^2(16)=6.91,{\chi }_{0.05}^2(16)=7.96$

$t_{0.995}(15)=2.95,t_{0.975}(15)=2.13,t_{0.95}(15)=1.75,t_{0.975}(16)=2.12,t_{0.95}(16)=1.746$

1 选择题

1-1

设连续随机变量X的累积分布函数为: $F(x)=\{\begin{array}{ll}a& \text{ for }x\le 1\\ bx\ln (x)+cx+d& \text{ for }1<x<e\\ d& \text{ for }x⩾e\end{array}$

求 $a,b,c$ 和 $d$ 的值

A. $a=0,b=1,c=-1,d=1$

B. $a=1,b=-1,c=1,d=0$

C. $a=0,b=-1,c=1,d=1$

D. $a=0,b=1,c=1,d=1$

1-2

已知 $X$ 的概率密度函数为 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{\lambda }^{2}x{e}^{-\lambda x},& \text{ for }x>0,\text{ 其中}\lambda \text{是一个常数}\\ 0,& \text{ otherwise }\end{array}$

则 $E\left(\frac{1}{X}\right)=()$ .

A. ${\lambda }^2$

B. $\frac{2}{\lambda }$

C. $\lambda$

D. $\frac{\lambda }{2}$

1-3

设X和Y为联合正态随机变量, 其均值和方差分别为 ${\mu }_X$ 和 ${\sigma }_X^2$ , ${\mu }_Y$ 和 ${\sigma }_Y^2$ , 且相关系数为 $\rho$ . 如果 $W=aX-bY$ , 其中 $a$ 和 $b$ 是常数. 则 $W$ 的方差等于( ) .

A. $a^2{\sigma }_X^2-b^2{\sigma }_Y^2-2ab\rho {\sigma }_X{\sigma }_Y$

B. $a^2{\sigma }_X^2+b^2{\sigma }_Y^2-2ab\rho {\sigma }_X{\sigma }_Y$

C. $a^2{\sigma }_X^2+b^2{\sigma }_Y^2+2ab\rho {\sigma }_X{\sigma }_Y$

D. $a^2{\sigma }_X^2+b^2{\sigma }_Y^2-2ab\rho$

1-4

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n,\cdots$ 为独立同分布的随机变量序列, 且服从参数为$\lambda$的指数分布, 记 $\mathrm{\Phi }(x)$ 为标准正态分布函数, 则根据独立同分布的中心极限定理有( ) .

A. $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}P\{\frac{\sum _{i=1}^n{X}_i-n\lambda }{\lambda \sqrt{n}}\le x\}=\mathrm{\Phi }(x)$

B. $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}P\{\frac{\sum _{i=1}^n{X}_i-n\lambda }{\sqrt{n\lambda }}\le x\}=\mathrm{\Phi }(x)$

C. $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}P\{\frac{\sum _{i=1}^n{X}_i-\lambda }{\sqrt{n\lambda }}\le x\}=\mathrm{\Phi }(x)$

D. $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}P\{\frac{\lambda \sum _{i=1}^n{X}_i-n}{\sqrt{n}}\le x\}=\mathrm{\Phi }(x)$

1-5

已知正态分布总体的标准差是 5 , 但其均值是未知的. 今有原假设 $H_0:\mu \le 80$ 和备择假设 $H_1:\mu >80$ . 现在随机抽取 4 个数据进行检验, 并将平均值与临界值 84.9 进行比较. 如果平均值大于等于 84.9 , 则零假设将被拒绝, 则显著性水平 $\alpha$ 的值为() .

A. 0.01

B. 0.025

C. 0.05

D. 0.1

2 填空题

2-1

设 $A$ 和 $B$ 为两事件, 且 $P(A)=0.4,P(B)=0.4,P(A\mid B)=0.5$ , 则 $P(A\cup B)=$ $\underset{―}{}$.

2-2

假设有两枚硬币, 其中一枚是均匀的, 另一枚是有偏差的(总是正面朝上) . 现从中随机选一枚硬币, 抛掷此硬币一次后, 再将其抛掷一次. 若两次均正面朝上, 则此枚硬币为有偏差的概率为 $\underset{―}{}$

2-3

设随机变量X服从参数为$\lambda$的泊松分布, 若 $E(X-1)(X+3)=1$ , 则$\lambda$ $=$ $\underset{―}{}$

2-4

随机变量 $X$ 和 $Y$ 满足 $D(X)=D(Y)=D(X+Y)\ne 0$ , 则相关系数 ${\rho }_{XY}=$ $\underset{―}{}$.

2-5

假设在系统中, I和II(两者并联, II支路上有个开关)备件的寿命都是 10 , 如果原件失效, 系统将自动用其备件替换, 但替换出错的概率为 0.1 , 则整个系统的寿命期望为 $\underset{―}{}$

2-6

设 $(X,Y)$ 为从方形区域 $0\le X\le 2,0\le Y\le 2$ 内随机均匀抽取的一点, 令 $Z=max\{X,Y\}$ , 则 $Z$ 的累积分布函数在 1 处的值 $F_Z(1)=$ $\underset{―}{}$

2-7

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 是来自均匀分布总体 $X\sim U[\theta ,1]$ 的样本, 则未知参数 $\theta$ 的最大似然估计 $\hat{\theta }=$ $\underset{―}{}$

2-8

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 为来自标准正态总体 $X\sim N(0,1)$ 的一个样本, 则 $C=$ $\underset{―}{}$时, 统计量 $\frac{C(X_1+X_2+X_3+X_4)}{\sqrt{X_5^2+X_6^2}}$ 服从自由度为 2 的t分布.

2-9

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 为正态总体 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的一个样本, 则 $n(\overline{X}-\mu {)}^2+(n-1)S^2$ 的方差为 $\underset{―}{}$

2-10

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 来自总体 $X$ 的一个样本, 且有 $E(X)=\mu$ 及 $D(X)={\sigma }^2$ . 记 $\overline{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$ , $S^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{(X_i-\overline{X})}^2$ , 则 $c=$ $\underset{―}{}$时, $(\overline{X}{)}^2-c{S}^2$ 是未知参数 ${\mu }^2$ 的无偏估计量.

3 解答题

3-1

已知某班有 $90\mathrm{\%}$ 的学生考试及格, $10\mathrm{\%}$ 的学生不及格. 经发现在考试及格的学生中有 $90\mathrm{\%}$ 按时交作业, 而在不及格的学生中只有 $10\mathrm{\%}$ 按时交作业. 现从中随机抽取一位学生.

(1) 求抽取到的这位学生是按时交作业的概率.

(2) 若已知抽到的这位学生是按时交作业的, 求他考试及格的概率.

3-2

设随机变量 $(X,Y)$ 的联合频率函数为

$X\mathrm{\setminus }Y$	1	2	3
0	0.1	0.1	0.2
1	0.1	0.2	0.3

求以下三个问题:

(1) 求 $(X,Y)$ 的边际频率函数并判断X与 $Y$ 是否相互独立；

(2) 求 $Z=max(X,Y)$ 的频率函数；

(3) 求 $Z$ 的方差 $D(Z)$

3-3

设连续型随机变量X和Y相互独立, 且密度函数分别为

$$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}1,& \text{ for }0\le x\le 1\\ 0,& \text{ otherwise }\end{array}$$

和

$$f_Y(y)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-y},& \text{ for }y>0\\ 0,& \text{ otherwise }\end{array}$$

求以下三个问题:

(1) $(X,Y)$ 的联合密度函数 $f(x,y)$ ；

(2) 期望 $E(XY)$ ；

(3) $Z=X+Y$ 的密度函数

3-4

已知总体X的概率密度为 $f(x)=$

$$\{\begin{array}{ll}\frac{2x}{{\alpha }^2},& 0\le x\le \alpha \\ 2,& \text{otherwise}\end{array}$$

$\alpha >2$ 未知, $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 是来自总体 $X$ 的随机样本. 求以下两个问题:

(1) 求 $\alpha$ 的矩估计 ${\hat{\alpha }}_M$ 与极大似然估计 ${\hat{\alpha }}_{MLE}$ ；

(2) 已知 $k{\hat{\alpha }}_{MLE}$ 是 $\alpha$ 的无偏估计, 求 $k$ .

3-5

设某机床加工的零件的长度 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ , 今抽查 16 个零件长度(单位: mm) , 测得相关的样本均值和样本方差为: $\overline{x}=12$ , $s^2=4$ .

(1) 求 ${\sigma }^2$ 的置信度为 $95\mathrm{\%}$ 的置信区间(结果精确到小数点后两位) ；

(2) 在 $5\mathrm{\%}$ 的显著性水平下, 能否认为该机床加工的零件长度为 13 mm .

3-6

根据数据显示用旧安眠药A时平均睡眠时间为20.8小时, 标准差为1.6小时.

今有一种新安眠药B, 据说在一定剂量下能达到新的疗效: 比旧安眠药A的睡眠时间多于3小时.

为了验证这个说法是否正确, 今收集到一组使用新安眠药B的睡眠时间为: 22.7, 23.7, 24.7, 25.7(小时).

请问: 从这组数据能否说明新安眠药B达到了新的疗效？(假定睡眠时间服从正态分布, $\alpha =0.05$)