MA212 概率论与数理统计 2022年秋 期末试卷

(附表: 分位数)

$U_{0.95}=1.645,U_{0.975}=1.96,U_{0.99}=2.33,U_{0.995}=2.58,t_{0.95}(18)=1.73,t_{0.975}(18)=2.10$

$t_{0.95}(20)=1.72,t_{0.99}(8)=2.90,t_{0.99}(9)=2.82,t_{0.995}(8)=3.36,t_{0.995}(9)=3.25,t_{0.975}(20)=2.09$

$t_{0.95}(35)=1.690,t_{0.975}(35)=2.03,t_{0.95}(36)=1.689,t_{0.975}(36)=2.028$

$F_{0.95}(9,9)=3.18,F_{0.95}(10,9)=3.14,F_{0.95}(10,10)=2.98,F_{0.975}(9.9)=4.03,F_{0.975}(10,9)=3.96$

$F_{0.95}(10,10)=3.72$

${\chi }_{0.025}^2(8)=2.18,{\chi }_{0.05}^2(8)=2.73,{\chi }_{0.95}^2(8)=15.51,{\chi }_{0.975}^2(8)=17.53$

${\chi }_{0.025}^2(9)=2.70,{\chi }_{0.05}^2(9)=3.33,{\chi }_{0.95}^2(9)=16.92,{\chi }_{0.975}^2(9)=19.02,{\chi }_{0.005}^2(25)=10.52$

${\chi }_{0.01}^2(25)=15.52,{\chi }_{0.995}^2(25)=46.93,{\chi }_{0.99}^2(25)=44.31,{\chi }_{0.005}^2(26)=11.16,{\chi }_{0.01}^2(26)=12.20$

${\chi }_{0.995}^2(26)=48.29,{\chi }_{0.99}^2(26)=45.64,{\chi }_{0.05}^2(25)=14.61,{\chi }_{0.1}^2(25)=16.47,{\chi }_{0.95}^2(25)=37.65$

${\chi }_{0.9}^2(25)=34.38,{\chi }_{0.05}^2(26)=15.38,{\chi }_{0.1}^2(26)=17.29,{\chi }_{0.95}^2(26)=38.89,{\chi }_{0.9}^2(26)=35.56$

1 选择题

1-1

假设 $A$ 和 $B$ 是两个随机事件, 且 $P(A\mid B)=0.6,P(B\mid A)=0.5,P(A\cup B)=0.8$ . 则 $P(A)$ 的值为( ) .

A. 0.6

B. 0.5

C. 0.4

D. 0.3

1-2

假设 $Z\sim N(0,1)$ . 则 $E(1+Z+Z^2+Z^3)$ 的值为( ) .

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

1-3

设随机变量 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 互相独立, 则根据辛钦大数定律, 当 $X_1,X_2,X_3,\cdots ,X_n$ 满足以下哪个条件时, $\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$ 会依概率收敛于其共同的数学期望.

A. 有相同的数学期望

B. 服从同一离散分布

C. 服从同一泊松分布

D. 服从同一连续分布

1-4

设随机变量X, Y均服从标准正态分布, 则以下哪个是正确的？

A. $X+Y\sim N(0,2)$

B. $X^2+Y^2\sim {\chi }^2(2)$

C. $\frac{X^2}{Y^2}\sim F(1,1)$

D. $X^2$ 和 $Y^2$ 均服从 ${\chi }^2(1)$ 分布

1-5

已知 $X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2),Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$ , 为检验总体 $X$ 的方差是否大于 $Y$ 的方差, 则应作假设().

A. $H_0:{\sigma }_1^2>{\sigma }_2^2;H_1:{\sigma }_1^2\le {\sigma }_2^2$

B. $H_0:{\sigma }_1^2\ge {\sigma }_2^2;H_1:{\sigma }_1^2<{\sigma }_2^2$

C. $H_0:{\sigma }_1^2<{\sigma }_2^2;H_1:{\sigma }_1^2\ge {\sigma }_2^2$

D. $H_0:{\sigma }_1^2\le {\sigma }_2^2;H_1:{\sigma }_1^2>{\sigma }_2^2$

2 填空题

2-1

掷三粒骰子, 则出现的三个点数中最小的点数为2的概率是 $\underset{―}{}$.

2-2

已知随机变量 $X\sim N(2,{\sigma }^2)$ , 且有 $P(2<X<4)=0.3$ , 则 $P(X<0)=$ $\underset{―}{}$.

2-3

已知随机变量X的密度函数为 $f(x)=A{e}^{-x^2+2x-1},-\mathrm{\infty }<x<\mathrm{\infty }$ , 其中 $A$ 为常数, 则 $E\left[X^2\right]$ 的具体的值 = $\underset{―}{}$.

2-4

设随机变量 $X$ 的频率函数为 $P\{X=-2\}=\frac{1}{2},P\{X=1\}=a,P\{X=3\}=b$ , 且 $E[X]=0$ , 则 $D[X]=$ $\underset{―}{}$

2-5

设随机变量 $(X,Y)$ 在单位圆 $D:X^2+Y^2\le 1$ 内服从均匀分布, 则 $X$ 和 $Y$ 的相关系数 ${\rho }_{XY}=$ $\underset{―}{}$.

2-6

设 $(X,Y)$ 服从分布 $N(3,1,1^2,1^2,0)$ , 令 $U=X+Y,V=X-Y$ , 则 $(U,V)$ 服从分布 $\underset{―}{}$.

2-7

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n,\cdots$ 是相互独立的随机变量序列, 且服从参数为 $\lambda =2$ 的泊松分布, 则 $\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2$ 依概率收敛于 $\underset{―}{}$.

2-8

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 为二项分布总体 $X\sim b(6,p)$ 的一个样本, 若 $\overline{X}-k{S}^2$ 为参数 $6p^2$ 的一个无偏估计, 则 $k=$ $\underset{―}{}$

2-9

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 为正态总体 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的一个样本, 则 $\frac{n(\overline{X}-\mu {)}^2}{{\sigma }^2}+\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}$ 服从分布 $\underset{―}{}$.

2-10

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 是来自均匀分布总体 $X\sim U[\theta ,3\theta +4]$ 的样本, 则未知参数 $\theta$ 的矩估计量 $\hat{\theta }=$ $\underset{―}{}$

3 解答题

3-1

设 $(X,Y)$ 为连续型随机变量, 其联合密度函数为 $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{x}{5}+Cy,& 0<x<1,1<y<5\\ 0,& \text{otherwise}\end{array}$

(1) 求常数 $C$ 的值；

(2) $X$ 和 $Y$ 是否独立？说明理由；

(3) 求 $P\{X+Y>3\}$ .

3-2

设 $X_i(i=1,2,3)$ 是相互独立的泊松随机变量, 均值分别为 ${\lambda }_i,i=1,2,3$ . 令 $X=X_1+X_2,Y=X_2+X_3$ , 称 $(X,Y)$ 为二元泊松随机变量.

(1) 求 $E[X]$ 和 $D[Y]$ ；

(2) 求 $\mathrm{Cov}(X,Y)$ ；

(3) 求 $(X,Y)$ 的联合频率函数 $P\{X=i,Y=j\}$ .

3-3

设二维随机变量 $(X,Y)$ 在区域 $D:=\{(X,Y)\mid 0<X<1,X^2<y<\sqrt{X}\}$ 上服从均匀分布, 令 $U=\{\begin{array}{ll}1,& X\le Y\\ 0,& X>Y.\end{array}$

(1) 写出 $(X,Y)$ 的联合密度函数；

(2) $X$ 和 $Y$ 是否相互独立？给出理由；

(3) 求 $z=U+X$ 的分布函数 $F(z)$.

3-4

已知总体X的密度函数为 $f(x)=\{\begin{array}{ll}\sqrt{\theta }{x}^{\sqrt{\theta }-1},& 0\le x\le 1,\theta >0\text{ 为未知参数}\\ 0,& \text{otherwise}\end{array}$

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 为总体的一个样本, $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 为相应的样本值.

(1) 求未知参数 $\theta$ 的矩估计量和矩估计值；

(2) 求未知参数 $\theta$ 的最大似然估计值.

3-5

假设人体身高服从正态分布, 今抽测甲、乙两地区 18 岁 ~ 25岁女青年身高的数据如下: 甲地区抽取 10 名, 样本均值 1.64 m , 样本标准差 0.2 m ；乙地区抽取 10 名, 样本均值 1.62 m , 样本标准差 0.4 m .

(1) 求两正态总体方差比的置信水平为 $95\mathrm{\%}$ 的置信区间；

(2) 假设甲地区和乙地区女青年身高的方差相等且未知, 求两正态总体均值差的置信水平为 $95\mathrm{\%}$ 的置信区间.

3-6

设某次考试的考生成绩服从正态分布, 从中随机的抽取 36 位考生的成绩, 算得平均成绩 66.5 分, 标准差为 15 分, 问在显著性水平 0.05 下, 是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分？给出检验过程.