MA212 概率论与数理统计 2022年春 期末试卷

1 选择题

1-1

设 $A,B,C$ 三个事件两两独立, 则 $A,B,C$ 相互独立的充分必要条件是() .

(A) $A$ 与 $BC$ 独立

(B) $AB$ 与 $A\cup C$ 独立

(C) $AB$ 与 $AC$ 独立

(D) $A\cup B$ 与 $A\cup C$ 独立

1-2

设 $X\sim N(2,1),Y\sim N(-1,1)$ , 且 $X,Y$ 独立, 记 $Z=3X-2Y-6$ , 则 $Z\sim ()$ .

(A) $N(2,1)$

(B) $N(2,13)$

(C) $N(1,1)$

(D) $N(1,5)$

1-3

随机变量 $X$ 和 $Y$ 的方差相等且不为零, 则 $X$ 和 $Y$ 的相关系数为 ${\rho }_{XY}=1$ 的充分必要条件是( )

(A) $\mathrm{Cov}(X+Y,X)=0$

(B) $\mathrm{Cov}(X+Y,Y)=0$

(C) $\mathrm{Cov}(X+Y,X-Y)=0$

(D) $\mathrm{Cov}(X-Y,X)=0$

1-4

从总体 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ 中抽取简单随机样本 $X_1,X_2,X_3$ , 统计量

$$\begin{array}{ll}{\hat{\mu }}_1=\frac{1}{2}{x}_1+\frac{1}{3}{x}_2+\frac{1}{6}{x}_3& {\hat{\mu }}_2=\frac{1}{2}{x}_1+\frac{1}{4}{x}_2+\frac{1}{4}{x}_3\\ {\hat{\mu }}_3=\frac{1}{3}{x}_1+\frac{1}{3}{x}_2+\frac{1}{3}{x}_3& {\hat{\mu }}_4=\frac{1}{5}{x}_1+\frac{2}{5}{x}_2+\frac{2}{5}{x}_3\end{array}$$

都是总体均值 $EX=\mu$ 的无偏估计量, 则有效的估计量是( )

(A) ${\hat{\mu }}_1$

(B) ${\hat{\mu }}_2$

(C) ${\hat{\mu }}_3$

(D) ${\hat{\mu }}_4$

1-5

已知两个独立的随机变量的分布是 $X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2),Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$ , 为检验总体 $X$ 的均值大于总体 $Y$ 的均值, 则应做检验假设是( ) .

(A) $H_0:{\mu }_1>{\mu }_2;H_1:{\mu }_1⩽{\mu }_2$ .

(B) $H_0:{\mu }_1⩾{\mu }_2;H_1:{\mu }_1<{\mu }_2$

(C) $H_0:{\mu }_1<{\mu }_2;H_1:{\mu }_1⩾{\mu }_2$

(D) $H_0:{\mu }_1\le {\mu }_2;H_1:{\mu }_1>{\mu }_2$

2 填空题

2-1

设 $A$ , $B$ 是两事件, $P(A)=P(\overline{B})$ , $P(A\mid B)=0.2,P(B\mid A)=0.3$ , 则 $P(A)=$ $\underset{―}{}$

2-2

设 $(X,Y)\sim N(\mu ,\mu ,{\sigma }^2,{\sigma }^2,0)$ , 则 $P\{X<Y\}=$ $\underset{―}{}$

2-3

设随机变量 $X$ 的密度函数为 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-x},& x>0\\ 0,& x⩽0\end{array}$ , 则条件概率 $p\{X⩽2\mid X⩾1\}=$ $\underset{―}{}$

2-4

设随机变量 $X$ 的密度函数为 $f(x)=\{\begin{array}{l}2x,0<x<1\\ 0,\text{ 其它 }\end{array}$ , 则 $P\{X⩾-1\}=$ $\underset{―}{}$

2-5

设随机变量 $X\sim U(0,1),Y\sim U(0,1)$ , 且 $X$ 与 $Y$ 独立, 记 $(X,Y)$ 的概率密度为 $f(x,y)$ , 则 $f(\frac{1}{2},\frac{1}{2})=$ $\underset{―}{}$

2-6

已知随机变量 $X$ 服从二项分布 $b(n,p)$ , 且 $E(X)=2.4,D(X)=1.44$ , 则二项分布的参数 $n=$ $\underset{―}{}$ $p=$ $\underset{―}{}$.

2-7

设随机变量 $X_1,X_2,X_3$ 相互独立, 且都服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布, 令 $Y=\frac{1}{3}(X_1+X_2+X_3)$ , 则 $Y^2$ 的数学期望等于 $\underset{―}{}$.

2-8

设 $X_1,X_2,X_3,X_4$ 为来自总体 $X\sim N(1,{\sigma }^2)$ 的样本, 则统计量 $\frac{X_1-X_2}{|X_3+X_4-2|}$ 的分布为 $\underset{―}{}$ (请写出分布类型及其参数) .

2-9

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n(n⩾2)$ 为来自总体 $X\sim N(0,1)$ 的样本, $\overline{X}$ 和 $S^2$ 分别为样本均值和样本方差, 则 $\frac{(n-1)X_1^2}{\sum _{i=2}^n{X}_i^2}$ 服从的分布为 $\underset{―}{}$ (请写出分布类型及其参数)

2-10

考虑两个总体 $N({\mu }_1,{\sigma }_1^2),N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$ 的假设问题:

$$H_0={\sigma }_1^2⩽{\sigma }_2^2;H_1={\sigma }_1^2>{\sigma }_2^2$$

在各总体中分别抽取容量为 $m=21,n=27$ 的样本, $S_1^2,S_2^2$ 分别为样本方差, 且设两组样本相互独立. 则当 ${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$ 时, 统计量 $\frac{S_1^2}{S_2^2}\sim$ $\underset{―}{}$ (请写出分布类型及参数) .

3 大题

3-1

同时掷两个不同颜色的骰子, 观察其朝上的点数, 记事件 $A=$＂两个骰子的点数和等于 3 ＂, $B=$＂两个骰子的点数和等于 7 ＂, $C=$＂至少有一个骰子的点数为 1 ＂, 求:

(1) $P(A\mid C)$ ；

(2) $P(B\mid C)$ ；

(3) $A$ 和 $C$ 是否独立？说明理由.

3-2

设离散型随机变量X的期望为 $\frac{11}{18}$ , 且其频率函数如下, 其中 $a$ 和 $b$ 为常数:

$x$	$a$	1	$b$
$p$	$b$	$\frac{1}{2}$	$a$

(1) 求 $a^2+b^2$ 的值；

(2) 求 $Z=\frac{1}{2}X-\frac{1}{4}$ 的方差 $D(Z)$ .

3-3

假设连续型随机变量X和Y的联合概率密度函数为

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}b{e}^{-3x-2y},& x>0,y>0.\\ 0,& \text{ 其他. }\end{array}$$

(1) 确定常数 $b$ ；

(2) 求X和Y的边缘概率密度函数 $f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$ , 并确定(给出原因) 它们是否独立.

3-4

令 $\{X_1,X_2,\cdots \}$ 是独立同分布的 $N(2,5)$-随机变量序列. 对于正整数 $n$ , 定义

$$S_n=\sum _{i=1}^n{X}_i,{\overline{X}}_n=\frac{S_n}{n}$$

(1) $S_{10},S_{20}$ 与 ${\overline{X}}_{20}$ 分别服从何种分布？

(2) $S_{10}$ 与 $S_{20}$ 是否相关？求出 $S_{10}$ 与 $S_{20}$ 的相关系数 $\rho (S_{10},S_{20})$ 来证明你的结论.

3-5

设总体X的频率函数为

$x$	1	2	3
$p_k$	${\theta }^2$	$2\theta (1-\theta )$	$(1-\theta {)}^2$

其中 $\theta (0<\theta <1)$ 为未知参数. 已知取得了样本值 $x_1=1,x_2=2,x_3=1$ .

(1) 求 $\theta$ 的最大似然估计值.

(2) 求 $\theta$ 的矩估计值.

3-6

求解以下两个问题:

(1) 设雷达速度测量值 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ , 且雷达没有系统误差. 今用雷达测得飞机的 9 个飞行数据 (样本) 的平均值为 760 , 方差为 64 . 求飞机飞行速度的置信区间( $1-\alpha =95\mathrm{\%}$ ) .

(2) 从甲地发送一个信号到乙地, 由于存在线路噪声干扰, 使得甲地发送一个幅值为 $\mu$ 的信号, 而乙地收到的信号是一个服从 $N(\mu ,4)$ 分布的随机变量. 在测试中, 甲地将同一信号发送 34 次, 乙地收到的信号样本均值为

6	7	9	10

接收方有某种理由猜测甲地发送的信号值为 10 , 问这种猜测是否正确？( $\alpha =0.05$ )

附注

$$\begin{array}{rl}& U_{0.95}=1.65;U_{0.975}=1.96;t_{0.95}(9)=1.833;t_{0.95}(10)=1.812;\\ & t_{0.95}(8)=1.860;t_{0.975}(8)=2.306;t_{0.975}(9)=2.262;t_{0.975}(10)=2.228;\\ & {\chi }_{0.95}^2(9)=16.92;{\chi }_{0.95}^2(10)=18.31;{\chi }_{0.975}^2(9)=19.02;{\chi }_{0.975}^2(10)=20.48\end{array}$$