MA212 概率论与数理统计 2020年春 期末试卷

1 选择题

1-1

下列各函数中可以作为某随机变量的分布函数的是( ) .

(A) $F_1(x)=\frac{1}{1+x^2},-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty }$

(B) $F_2(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x}{1+x}& x>0\\ 0& x⩽0\end{array}$

(C) $F_3(x)=e^{-x},-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty }$

(D) $F_4(x)=\frac{3}{4}+\frac{1}{2\pi }\arctan x,-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty }$

1-2

随机变量X的概率密度为 $f(x)=\{\begin{array}{ll}c{e}^{-2x}& x⩾0\\ 0& x<0\end{array}$ , 则 $E(X)=()$ .

(A) $\frac{1}{2}$

(B) 1

(C) 2

(D) $\frac{1}{4}$

1-3

设 $(X,Y)$ 为二维随机向量, 则$X$与 $Y$ 不相关的充分必要条件是( ) .

(A) $X$ 与 $Y$ 相互独立

(B) $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$

(C) $D(XY)=D(X)\cdot D(Y)$

(D) $E(XY)=E(X)\cdot E(Y)$

1-4

设随机变量X和Y相互独立, 且都服从正态分布 $N(0,3^2)$ , 设 $X_1,X_2,\cdots ,X_9$ 和 $Y_1,Y_2,\cdots ,Y_9$ 分别是来自两总体的简单随机样本, 则统计量 $U=\frac{\sum _{i=1}^9{X}_i}{\sqrt{\sum _{i=1}^9{Y}_i^2}}$ 服从分布是() .

(A) $t(9)$

(B) $t(8)$

(C) $N(0,81)$

(D) $N(0,9)$

1-5

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n(n⩾2)$ 是正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的一个样本, 若统计量 $K\sum _{i=1}^{n-1}{(X_{i+1}-X_i)}^2$ 为 ${\sigma }^2$ 的无偏估计, 则 $K$ 的值应为( ) .

(A) $\frac{1}{2n}$

(B) $\frac{1}{2n-1}$

(C) $\frac{1}{2n-2}$

(D) $\frac{1}{n-1}$

2 填空题

2-1

甲口袋有 2 只白球、 4 只黑球；乙口袋有 $\omega$ 只白球、 3 只黑球. 从甲口袋任取一球放入乙口袋, 然后从乙袋中任取一球, 此时从乙袋中取出的是白球的概率为 $\underset{―}{}$

2-2

已知事件 $P(A)=0.4,P(A\cup \overline{B})=0.8$ , 且 $A$ 与 $B$ 相互独立, 那么 $P(\overline{B}\mid A)=$ $\underset{―}{}$

2-3

若随机事件 $A,B$ 相互独立, $P(A)=0.5,P(B)=0.2$ , 那么 $P(\overline{A}\cup \overline{B})=$ $\underset{―}{}$.

2-4

已知事件 $B_1,B_2,B_3$ 的概率有 $P\left(B_1\right)=P\left(B_2\right)=P\left(B_3\right)=\frac{1}{3},P\left(B_1{B}_2\right)=0,P\left(B_1{B}_3\right)=P\left(B_2{B}_3\right)=\frac{1}{16}$ , 那么 $P(B_1\cup B_2\cup B_3)=$ $\underset{―}{}$.

2-5

随机变量 $X$ , $Y$ 相互独立且都服从泊松分布 $P(3)$ , 则 $\mathrm{Cov}(2X-Y,X+Y)=$ $\underset{―}{}$

2-6

$X\sim b(n,p)$ , 且 $E(X)=2,D(X)=1$ , 则 $P\{X>1\}=$ $\underset{―}{}$

2-7

随机变量 $X$ 的密度函数 $p(x)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{2},0<x<2\\ 0,\text{ 其他 }\end{array}$ , 则 $X^3$ 的数学期望为 $\underset{―}{}$

2-8

已知 $E(X)=0,D(X)=4$ , 则 $E[(3X-2{)}^2]=$ $\underset{―}{}$.

2-9

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_{20}$ 为来自于均匀分布总体 $U(-1,1)$ 的一组独立同分布容量为 20 的样本, 记 $\overline{X}=\frac{1}{20}\sum _{i=1}^{20}{X}_i$ , 那么 $D(3\overline{X})=$ $\underset{―}{}$.

2-10

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_{10}$ 为来自于总体 $X$ 的一组独立同分布容量为 10 的样本, 总体方差 $D(X)=3$ , 记 $\overline{X}=\frac{1}{10}\sum _{i=1}^{10}{X}_i$ , 那么 $E(\sum _{i=1}^{10}{X}_i^2-10(\overline{X}{)}^2)=$ $\underset{―}{}$

3 问答题

3-1

已知随机变量X的概率密度为 $f(x)=\frac{1}{2}{e}^{-|x|},-\mathrm{\infty }<x<\mathrm{\infty }$, 求 $Y=X^2$ 的概率密度.

3-2

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合概率密度 $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}3y,& 0<x<2,0<y<\frac{x}{2}\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$

试求边缘密度函数 $f_x(x)$ 和 $f_y(y)$ .

3-3

设 $(X,Y)$ 的概率密度为 $f(x,y)=\{\begin{array}{l}{x}^2+axy,0⩽x⩽1,0⩽y⩽2\\ 0,\text{ 其它 }\end{array}$

试求: (1)$a$ ；

(2) $P\{X+Y⩾1\}$ ；

(3) $X$ 与 $Y$ 是否相互独立.

3-4

设随机变量 $X$ 的密度函数为 $f(x,\theta )=\{\begin{array}{ll}\theta x^{\theta -1},& 0<x<1\\ 0,& \text{ 其它 }\end{array}$ ,

其中 $\theta >0$ 为未知参数, $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 是 $X$ 的简单随机样本, $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 是 $X$ 的样本观察值,

(1) 求 $\theta$ 的最大似然估计量；

(2) 求 $\theta$ 的矩估计量.

3-5

设某机器生产的零件长度(单位: cm)$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ , 今抽取容量为 16 的样本, 测得样本均值 $\overline{x}=10$ , 样本方差 ${\delta }^2=0.16$ .

(1) 求 $\mu$ 的置信度为 0.95 的置信区间；

(2) 检验假设 $H_0:{\sigma }^2⩽0.1$(显著性水平为 0.05 ) .

(附注)

$U_{0.95}=1.645,U_{0.975}=1.96$

$t_{0.95}(16)=1.746,t_{0.95}(15)=1.753,t_{0.975}(15)=2.132$ ,

${\chi }_{0.95}^2(16)=26.296,{\chi }_{0.95}^2(15)=24.996,{\chi }_{0.975}^2(15)=27.488$

(此处均指为下分位点, 下同. )

3-6

甲乙两车床生产同一种零件, 现从这两车床生产的零件中分别抽取 5 个和 6 个, 测得其外径(单位: mm ) :

车床	尺寸...
甲	15.0	14.5	15.2	15.5	14.8
乙	15.2	15.0	14.8	15.2	15.0	15.0

假定其外径服从正态分布, 在显著性水平 $\alpha =0.05$ 下, 问乙车床加工精度是否比甲的高？(经计算知 $S_1^2=0.145,S_2^2=2.267\times {10}^{-2})$ .

(附注)

$t_{0.95}(11)=1.796,t_{0.95}(10)=1.812,t_{0.95}(9)=1.833$ ,

$t_{0.975}(11)=2.201,t_{0.975}(10)=2.228,t_{0.975}(9)=2.262$ ,

${\chi }_{0.95}^2(11)=19.68,{\chi }_{0.95}^2(10)=18.31,{\chi }_{0.95}^2(9)=16.92$ ,

${\chi }_{0.975}^2(11)=21.92,{\chi }_{0.975}^2(10)=20.48,{\chi }_{0.975}^2(9)=19.02$ ,

$F_{0.95}(4,5)=5.19,F_{0.95}(5,6)=4.39,F_{0.95}(5,4)=6.26,F_{0.95}(6,5)=4.95$,

$F_{0.975}(4,5)=7.39,F_{0.975}(5,6)=5.99,F_{0.975}(5,4)=9.36,F_{0.975}(6,5)=6.98$