MA212 概率论与数理统计 2021年秋 期末试卷

1 选择题

1-1

设随机变量X的概率密度为 $f(x)$ , 且 $f(-x)=f(x),F(x)$ 是X的分布函数, 则对任意实数 $a>0$ 有() .

(A) $F(-a)=1-{\int }_0^{a}f(x)dx$ ；

(B) $F(-a)=\frac{1}{2}-{\int }_0^{a}f(x)dx$ ；

(C) $F(-a)=F(a)$

(D) $F(-a)=2F(a)-1$

1-2

随机变量X的可能值为 $x_1=-1,x_2=0,x_3=1$ , 且 $E(X)=0.1,D(X)=0.89$ , 则对应于 $x_1,x_2,x_3$ 的概率 $p_1,p_2,p_3$ 为( ) .

(A) $p_1=0.4,p_2=0.1,p_3=0.5$

(B) $p_1=0.1,p_2=0.1,p_3=0.5$

(C) $p_1=0.5,p_2=0.1,p_3=0.4$

(D) $p_1=0.4,p_2=0.5,p_3=0.5$

1-3

设 $X_1,X_2,\cdots$ 为独立随机变量序列, 且 $X_i$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布, $i=1,2,\cdots$ , 则()

(A) $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}P\{\frac{\sum _{i=1}^n{X}_i-n\lambda }{n\lambda }⩽x\}=\mathrm{\Phi }(x)$

(B) 当 $n$ 充分大时, $\sum _{i=1}^n{X}_i$ 近似服从标准正态分布.

(C) 当 $n$ 充分大时, $\sum _{i=1}^n{X}_i$ 近似服从 $N(n\lambda ,n\lambda )$

(D) 当 $n$ 充分大时, $P(\sum _{i=1}^n{X}_i⩽x)\approx \mathrm{\Phi }(x)$

1-4

$X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 是正态分布 $N(0,{\sigma }^2)$ 的一个样本, 若统计量 $k\sum _{i=1}^{n-1}{(X_{i+1}-X_i)}^2$ 为 ${\sigma }^2$ 的无偏估计, 则 $k$ 的值应该为() .

(A) $\frac{1}{2n}$

(B) $\frac{1}{2n-1}$

(C) $\frac{1}{2n-2}$

(D) $\frac{1}{n-1}$

1-5

$X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 来自正态总体 $N(0,{\sigma }^2)$ 的样本, 现检验假设 $H_0:{\sigma }^2=1;H_1:{\sigma }^2\ne 1$ , 则选用统计量( ) .

(A) $\frac{\overline{x}}{s}\sqrt{n}$

(B) $(n-1)S^2$

(C) $\sum _{i=1}^n{X}_i^2$

(D) $\sqrt{n}\overline{X}$

2 填空题

2-1

已知 $P(A)=\frac{1}{4},P(BC\mid A)=\frac{1}{8}$ , 则事件 $A,B,C$ 至少有一个不发生的概率是 $\underset{―}{}$

2-2

为从 2 个次品, 8 个正品的 10 个产品中将 2 个次品挑出, 随机地从中逐个测试, 则不超过 4 次测试就把两个挑出的概率为 $\underset{―}{}$

2-3

若 $f(x)=\{\begin{array}{l}A{x}^2,1⩽x⩽2\\ Ax,2<x<3\\ 0,\text{ 其它 }\end{array}$ 为某随机变量的密度函数, 则常数 $A=$ $\underset{―}{}$

2-4

设随机变量X和Y的相关系数为 0.9 , 若 $z=X-0.4$ , 则 $Y$ 和 $z$ 的相关系数为 $\underset{―}{}$

2-5

设 $X$ 服从参数为 $\lambda >0$ 的泊松分布, 且已知 $E[(X-1)(X-2)]=1$ , 则 $\lambda =$ $\underset{―}{}$

2-6

设随机变量X在区间 $[-1,2]$ 上服从均匀分布, 随机变量 $Y=\{\begin{array}{r}1,\text{ 若X }>0\\ \text{0 , 若X }=0\\ -1,\text{ 若X }<0\end{array}$ , 则 $Y$ 的方差 $D(Y)=$ $\underset{―}{}$

2-7

假设 $X,X_1,X_2,\cdots ,X_{10}$ 是来自正态总体 $N(0,{\sigma }^2)$ 的样本, $Y^2=\frac{1}{10}\sum _{i=1}^{10}{X}_i^2$ , 则 $X/Y$ 服从的分布及参数为 $\underset{―}{}$.

2-8

设随机变量X的数学期望 $E(X)=\mu$ , 方差 $D(X)={\sigma }^2$ , 则由切比雪夫不等式, 有 $P(|X-\mu |⩾3\sigma )⩽$ $\underset{―}{}$

2-9

设随机变量 $X_1,X_2,\cdots ,X_n,\cdots$ 相互独立, 且 $X_i$ 的密度函数为 $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}{e}^{-\frac{x}{2}},& x⩾0,\text{ 则当 }n\text{ 充分大时, }\\ 0,& x<0\end{array}$随机变量 $Z_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$ 的概率分布近似服从 $\underset{―}{}$. (请写出分布类型及其参数) .

2-10

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_m$ 为来自二项分布总体 $b(n,p)$ 的样本, $\overline{X}$ 和 $S^2$ 分别为样本均值和样本方差. 记统计量 $T=\overline{X}-S^2$ , 则 $E(T)=$ $\underset{―}{}$

3 问答题

3-1

将 3 个一样的球随机地放入 4 个杯子中去, 求杯中球的最大个数分别为 $1,2,3$ 的概率.

3-2

离散型随机变量X的频率函数为:

$x$	$a$	1	4
$p$	$a$	$\frac{1}{4}$	$b$

且已知 $E(X)=\frac{3}{2}$ .

a) 求常数 $a$ 和 $b$ 的值.

b) 设 $Y=2X+1$ , 求 $Y$ 的方差 $D(Y)$ .

3-3

已知随机变量X和Y分别服从正态分布 $N(1,9)$ 和 $N(0,16)$ , 且 $X$ 和Y形成二维正态分布, 它的相关系数 $P_{XY}=-\frac{1}{2}$ . 设 $z=\frac{x}{3}+\frac{Y}{2}$ .

a) 求 $Z$ 的数学期望 $E(Z)$ 和方差 $D(Z)$ .

b) 求 $x$ 与 z 的相关系数 ${\rho }_{xz}$ ；

c) 问 $X$ 与 $Z$ 是否相关？它们也相互独立吗？为什么？

3-4

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 为取自总体 $X$ 的样本, $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 为样本观察值, 总体的概率密度函数为

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\theta }{x^{\theta +1}},& x>1,\theta >1\\ 0,& x⩽1\end{array}$$

求参数 $\theta$ 的短估计量和最大似然估计量.

3-5

车间生产流珠的直径服从正态分布. 从车间生产的产品中随机取出 9 个, 得样本均值为 $\overline{X}=15.3$ , 样本方差为 $S^2=0.36$ .

a) 求总体方差 $0{\sigma }^2$ 的 0.95 双侧置信区间.

b) 在显著性水平为 0.05 下判断是否可以认为该车间生产流珠直径均值 $\mu$ 是 15. (分位点见试卷最后附表) .

3-6

用两种方法(A和B) 测定冰自-72度转变为 0 度的水的融化热(以 $\mathrm{Cal}/\mathrm{g}$ 计) . 测得的样本均值和样本方差如下:

A方法: $n_1=10$ , 均值 ${\overline{x}}_1=\frac{1}{10}\sum _{i=1}^{10}{x}_i=60$ , 样本方差 $S_1^2=\frac{1}{9}\sum _{i=1}^{10}{(x_i-{\overline{x}}_1)}^2=3$ .

$B$ 方法: $n_2=15$ , 均值 ${\overline{y}}_2=\frac{1}{15}\sum _{i=1}^{15}{y}_i=70$ , 样本方差 $S_2^2=\frac{1}{14}\sum _{i=1}^{15}{(y_i-{\overline{y}}_2)}^2=2$ .

假设 $A$ 方法的数据服从 $N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$ , B方法的数据服从 $N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$ , 并这两个样本相互独立, ${\mu }_1$ , ${\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2$ 均未知. 问: 是否可以认为A, B两种方法的总体庁差有显著差异？请给出该假设检验问题的检验方法与计算过程. (显著性水平 $\alpha =0.05$ , 分位点见试卷最后附表) .

附表

表1：F分布表P $(F(n_1,n_2)⩾x)=0.975$

$(n_1,n_2)$	$(n_1,n_2)$	$(n_1,n_2)$	$(n_1,n_2)$	$(n_1,n_2)$
取值	$=(9,14)$	$=(9,15)$	$=(10,14)$	$=(10,15)$
$x$ 取值	0.2633	0.2653	0.2817	0.2840

表2：F分布表 $P(F(n_1,n_2)⩾x)=0.025$

$(n_1,n_2)$	$(n_1,n_2)$	$(n_1,n_2)$	$(n_1,n_2)$	$(n_1,n_2)$
取值	$=(9,14)$	$=(9,15)$	$=(10,14)$	$=(10,15)$
$x$ 取值	3.2093	3.1227	3.1469	3.0602

表3 t分布表 $P(t(n)⩾x)=0.975$

自由度 $n$ 取值	8	9	10	14	15	16
$x_{\text{取值 }}$	2.3060	2.2621	2.2281	2.1447	2.1314	2.1199

表4：$x^2$ 分布表：$P({\chi }^2(m)⩾x)=0.025$

自由度m取值	6	7	8	9	10
x取值	14.4493	16.0127	17.5345	19.0227	20.4831

表5: $x^2$ 分布表：$P({\chi }^2(m)⩾x)=0.975$

自由度 $m$ 取值	6	7	8	9	10
$x$ 取值	1.2373	1.6898	2.1797	2.7003	3.2469