MA212 概率论与数理统计 2019年春 期末试卷

1 选择题

1-1

设随机变量X~N $({\mu }_1,{\sigma }_1^2),Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$ , 且有 $P(|X-{\mu }_1|<1)>P(|Y-{\mu }_2|<1)$ , 则 $\underset{―}{}$

(A) ${\sigma }_1>{\sigma }_2$

(B) ${\sigma }_1<{\sigma }_2$

(C) ${\mu }_1<{\mu }_2$

(D) ${\mu }_1>{\mu }_2$

1-2

在区间 $[0,1]$ 中随机取两个数 $X,Y$ , 则 $P(|X-Y|<\frac{1}{2})=$ $\underset{―}{}$

(A) $\frac{3}{4}$

(B) $\frac{1}{2}$

(C) $\frac{1}{4}$

(D) $\frac{1}{3}$

1-3

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 是来自总体 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的独立样本, $\overline{X}$ 是样本均值, 则 $\underset{―}{}$

(A) $E(\overline{X})=0,D(\overline{X})=1$

(B) $E(\overline{X})=0,D(\overline{X})={\sigma }^2$

(C) $E(\overline{X})=\mu ,D(\overline{X})=\frac{{\sigma }^2}{n}$

(D) $E(\overline{X})=\mu ,D(\overline{X})={\sigma }^2$

1-4

设随机变量 $X\sim N(0,1)$ , 对于给定的 $\alpha (0<\alpha <1)$ , 数 $Z_{\alpha }$ 满足 $P(X>Z_{\alpha })=\alpha$ , 若 $P(|X|<x)=\alpha$ , 则 $x=$

(A) $Z_{\frac{\alpha }{2}}$

(B) $Z_{1-\frac{\alpha }{2}}$

(C) $Z_{\frac{1-\alpha }{2}}$

(D) $Z_{1-\alpha }$

1-5

随机变量X与Y相互独立, 且都服从标准正态分布N $(0,1)$ , 则下面结论不正确的 $\underset{―}{}$

(A) $Z_1=X^2+Y^2\sim X^2(2)$

(B) $Z_2=X+Y\sim N(0,2)$

(C) $Z_3=\frac{X}{\sqrt{\frac{Z_1}{2}}}\sim t(2)$

(D) $Z_4=\frac{X^2}{Y^2}\sim F(1,1)$

2 填空题

2-1

设两个独立的随机变量 $X$ 和 $Y$ 服从正态分布 $N(1,1)$ , 则 $D(XY)=$ $\underset{―}{}$

2-2

设样本 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 为来自总体 $X\sim N(0,1^2)$ 的独立样本, 则 $\sum _{i=1}^n{X}_i^2$ 服从 $\underset{―}{}$分布, 其期望为$\underset{―}{}$

2-3

设 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 为来自总体 $x\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的样本值, 其均值为 $\overline{x}=9.0$ . 若参数 $\mu$ 的置信度为 0.9 的双侧置信区间的下限为 7.6 , 则其双侧置信上限为 $\underset{―}{}$

3 问答题

3-1

有朋友自远方来, 他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是 $0.3,0.2,0.1,0.4$ . 如果他乘火车、轮船、汽车, 则迟到的概率分别是 $\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{1}{12}$ , 而乘飞机不会迟到. 可他迟到了, 问他是乘火车来的概率为多少？

3-2

设随机变量X的概率密度为 $f_x(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2},& -1<x<0\\ \frac{1}{4},& 0⩽x<2\\ 0,& \text{ 其它. }\end{array}$

令 $Y=X^2,F(X,Y)$ 为二维随机变量 $(X,Y)$ 的分布函数, 求:

(A) $Y$ 的概率密度 $f_Y(y)$ ；

(B) $\mathrm{Cov}(X,Y)$ ；

(C) $F(-\frac{1}{2},4)$

3-3

(A) 设某种原件的使用寿命 $X$ 的概率密度为 $f(x;\theta )=\{\begin{array}{ll}2e^{-2(x-\theta )},& x>\theta \\ 0,& x⩽\theta \end{array}$

其中 $\theta$ 为未知参数. 设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 是来自总体 $X$ 的样本, 求参数 $\theta$ 的最大似然估计量.

(B) 设总体 $X$ 的密度函数为 $f(x;\theta )=\{\begin{array}{ll}\frac{2}{{\theta }^2}\cdot (\theta -x),& 0<x<\theta \\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$

其中 $\theta >0$ 为未知参数. $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 为来自总体 $X$ 的样本, 求未知参数 $\theta$ 的矩估计量.

3-4

设总体 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2),\mu ,{\sigma }^2$ 均未知, $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 为 $X$ 的样本, $\overline{X},S^2$ 分别为样本均值、样本方差. 给定置信水平 $1-\alpha$ , 试导出:

(A) $\mu$ 的置信水平为 $1-\alpha$ 的单侧置信下限；

(B) ${\sigma }^2$ 的置信水平为 $1-\alpha$ 的单侧置信上限.

3-5

从正态总体 $N(3.4,6^2)$ 中抽取容量为 $n$ 的样本. 如果要求其样本均值位于区间(1.4, 5.4) 内的概率不小于 0.95 , 问样本容量 $n$ 至少应取多大？(注: 标准正态分布函数值 $\mathrm{\Phi }(1.96)=0.975,\mathrm{\Phi }(1.645)$ $=0.95$ )

3-6

设某次考试的考生成绩服从正态分布 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ , 从中随机地抽取 36 位考生的成绩, 算得他们的平均成绩为 66.5 , 标准差为 15 分. 问在显著性水平 0.05 下, 是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分？并给出具体检验过程.

(注: 标准正态分布函数值 $\mathrm{\Phi }(1.96)=0.975,\mathrm{\Phi }(1.645)=0.95$ , t分布表 $P\{t(n)\le t_{\alpha }(n)\}=\alpha$

$t_{0.95}(35)=1.6896,t_{0.975}(35)=2.0301,t_{0.95}(36)=1.6883,t_{0.975}(36)=2.0281.)$