MA212-2025春-期中-答案

一 选择题

1-1

答案：C（105）

简要说明：分组不区分先后，先选 3 人 C(7,3)=35，余下 4 人分成 2 与 2 的两组：C(4,2)/2=3，乘积 35×3=105。

1-2

答案：D

简要说明：由 P(A)=P(B)=1/2 且 P(A\cup B)=1 得 P(A\cap B)=0，因此两事件互斥（集合意义上可视为空交）。

1-3

答案：B（98/1097）

简要说明：贝叶斯公式：

$$P(\text{病}\mid +)=\frac{0.001\times 0.98}{0.001\times 0.98+0.999\times 0.01}=\frac{98}{1097}.$$

1-4

答案：D（7/8）

简要说明：先算 F(0)=1/2，后加 ${\int }_0^{1/2}(1-t)dt=3/8$，合计 7/8。

1-5

答案：C

简要说明：$f_X(x)={\int }_x^{\mathrm{\infty }}{e}^{-y}dy=e^{-x}$，故 $f_{Y\mid X}(y\mid x)=e^{-(y-x)}(y>x)$。

二 填空题

2-1

$\frac{21}{43}$

2-2

$\frac{5}{28}$

2-3

$\frac{1}{2}$

2-4

$e^{-1}$

2-5

$0.7-0.4e^{-1}$

2-6

$f_{Y\mid X}(y\mid x)=2e^{-2(y-x)},y>x$

2-7

$3$

2-8

$6$

2-9

$\frac{1}{2}$

2-10

$\frac{5}{7}$

三 解答题

3-1

(1) $P=\frac{5}{9}\cdot \frac{4}{8}\cdot \frac{4}{7}=\frac{10}{63}$。

(2) $P(\text{首黑}\mid \text{次白})={\displaystyle \frac{(2/9)(3/8)}{P(\text{次白})}}={\displaystyle \frac{1/12}{1/3}}=\frac{1}{4}$（交换性）。

(3) $P={\displaystyle \frac{4\cdot 3\cdot 2\cdot 3!}{9\cdot 8\cdot 7}}={\displaystyle \frac{144}{504}}=\frac{2}{7}$。

3-2

样本空间：$\{E,F,GE,GF,GGE,GGF,\dots \}$，其中每次试验独立，$G$ 表示“既不为 $E$ 也不为 $F$”。

$P(\text{E先于F})={\displaystyle \frac{P_1}{P_1+P_2}}$。

3-3

设一等（F）3 张、二等（S）4 张、无奖（N）3 张，抽 2 张（不放回）。

(1) $(X,Y)$ 可能取:

• $(0,0):3/45=1/15$
• $(2,0):3/45=1/15$
• $(0,2):6/45=2/15$
• $(1,0):9/45=1/5$
• $(0,1):12/45=4/15$
• $(1,1):12/45=4/15$

(2) 边际

• $P(X=0,1,2)=(7/15,7/15,1/15)$
• $P(Y=0,1,2)=(1/3,8/15,2/15)$

不独立（例如 $P(X=1,Y=1)=4/15\ne (7/15)(8/15)$）。

(3) $Z=X+Y$ 的分布：$P(Z=0,1,2)=(1/15,7/15,7/15)$。

3-4

(1) $Y=e^X$（对数正态）： $f_Y(y)=\frac{1}{y\sqrt{2\pi }}\exp (-\frac{(\ln y{)}^2}{2}),y>0$。

(2) $Y=X^2+1$：令 $U=X^2\sim {\chi }_1^2$，则 $f_Y(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi (y-1)}}\exp (-\frac{y-1}{2}),y>1$。

3-5

(1) $P(X=x,Y=y)=e^{-({\lambda }_1+{\lambda }_2)}\frac{{\lambda }_1^x}{x!}\frac{{\lambda }_2^y}{y!}$。

(2) $P(X=k\mid X+Y=n)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_1+{\lambda }_2}{)}^k(\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_1+{\lambda }_2}{)}^{n-k}$。

3-6

(1) 由 $\underset{x,y\to \mathrm{\infty }}{lim}F(x,y)=1$ 得 $c=1$。 联合密度：$f(x,y)=6e^{-2x-3y},x>0,y>0$。

(2) $f_X(x)=2e^{-2x},f_Y(y)=3e^{-3y}$；且 $f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$，故独立。

(3) $P(1<X<3,1<Y<2)=(e^{-2}-e^{-6})(e^{-3}-e^{-6})$。