MA212 概率论与数理统计 2021年春 期中 答案

一 选择题

1-1

答案：D

1-2

答案：C

1-3

答案：C

1-4

答案：A

1-5

答案：D

二 填空题

2-1

$0.9$

2-2

$1-p$

2-3

$\frac{2}{3}$

2-4

$a+b=1$

2-5

$N(0,100)$

2-6

$1-e^{-1}$

2-7

$0.5$

2-8

$\frac{5}{8}$

2-9

$\frac{1}{9}$

2-10

$\frac{5}{7}$

三 解答题

3-1

设事件 $A$ 为“答对”，$B$ 为“事先知道正确答案”。则 $P(A\mid B)=1,P(A\mid \overline{B})=\frac{1}{4}$。

(a) 先验 $P(B)=0.5$，有

$$P(B\mid A)=\frac{P(B)P(A\mid B)}{P(B)P(A\mid B)+P(\overline{B})P(A\mid \overline{B})}=\frac{0.5\cdot 1}{0.5\cdot 1+0.5\cdot \frac{1}{4}}=0.8.$$

(b) 先验 $P(B)=0.2$，有

$$P(B\mid A)==\frac{P(B)P(A\mid B)}{P(B)P(A\mid B)+P(\overline{B})P(A\mid \overline{B})}=\frac{0.2\cdot 1}{0.2\cdot 1+0.8\cdot \frac{1}{4}}=0.5.$$

3-2

解：

$F_Y(y)=P\{Y\le y\}=P\{X=1\}P\{Y\le y\mid X=1\}+P\{X=2\}P\{Y\le y\mid X=2\}$

$=\frac{1}{2}P\{Y\le y\mid X=1\}+\frac{1}{2}P\{Y\le y\mid X=2\}$

当 $y<0$ 时，$F_Y(y)=0$。

当 $0\le y<1$ 时，$F_Y(y)=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}y=\frac{3}{4}y$。

当 $1\le y<2$ 时，$F_Y(y)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}y=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}y$。

当 $y\ge 2$ 时，$F_Y(y)=1$。

所以 $Y$ 的分布函数为

$$F_Y(y)=\{\begin{array}{ll}0,& y<0,\\ \frac{3}{4}y,& 0\le y<1,\\ \frac{1}{2}+\frac{1}{4}y,& 1\le y<2,\\ 1,& y\ge 2.\end{array}$$

$Y$ 的概率密度函数为

$$f_Y(y)=\{\begin{array}{ll}\frac{3}{4},& 0\le y<1,\\ \frac{1}{4},& 1\le y<2,\\ 0,& \text{else}.\end{array}$$

3-3

设每只母鸡产蛋数 $X\sim \mathrm{Poisson}(\lambda )$，每蛋独立孵化为小鸡的概率为 $p$。 条件于 $X=n$ 时，$Y\mid X=n\sim \mathrm{Bin}(n,p)$， 故对任意 $k\in {\mathbb{N}}_0$，

$$\begin{array}{rl}P(Y=k)& =\sum _{n=k}^{\mathrm{\infty }}P(X=n)(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}\\ & =e^{-\lambda }\frac{(\lambda p{)}^k}{k!}\sum _{n=k}^{\mathrm{\infty }}\frac{[\lambda (1-p){]}^{n-k}}{(n-k)!}\\ & =e^{-\lambda p}\frac{(\lambda p{)}^k}{k!}.\end{array}$$

故 $Y\sim \mathrm{Poisson}(\lambda p)$。

3-4

给定

$$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}cx,& 0<x<2,\\ 0,& \text{其他}\end{array}$$

（A）由归一化 $1={\int }_0^{2}cxdx=2c$，得 $c=\frac{1}{2}$。

（B）令 $Y=X^2$。在 $(0,2)$ 上 $y=x^2$ 单调，故对 $0<y<4$，

$$f_Y(y)=\frac{f_X(\sqrt{y})}{2\sqrt{y}}=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{y}}{2\sqrt{y}}=\frac{1}{4}.$$

综上

$$f_Y(y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{4},& 0<y<4,\\ 0,& \text{其他}\end{array},F_Y(y)=\{\begin{array}{ll}0,& y\le 0,\\ \frac{1}{4}y,& 0<y<4,\\ 1,& y\ge 4.\end{array}$$

即 $Y\sim U(0,4)$。

3-5

由题给分布可得 $P(X=0)=\frac{1}{3},P(X=1)=\frac{2}{3}$；$P(Y=1)=\frac{1}{2},P(Y=2)=\frac{1}{2}$，且 $P(X=1,Y=1)=\frac{1}{3}$。于是

联合分布表：

	X=0	X=1	合计
Y=1	1/6	1/3	1/2
Y=2	1/6	1/3	1/2
合计	1/3	2/3	1

检验独立性：各格满足 $P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j)$，故 $X,Y$ 独立。

条件分布：$P(X=k\mid Y=1)=P(X=k)$，即 $P(X=0\mid Y=1)=\frac{1}{3},P(X=1\mid Y=1)=\frac{2}{3}$。

3-6

联合密度 $f(x,y)=k{e}^{-(x+y)}$，$0<x<1,y>0$。

（a）归一化 $1={\int }_0^1{\int }_0^{\mathrm{\infty }}k{e}^{-(x+y)}dydx=k(1-e^{-1})$，得 $k=\frac{1}{1-e^{-1}}$。

（b）边际密度：

$$\begin{array}{rl}{f}_X(x)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x,y)dy=\{\begin{array}{ll}\frac{e^{-x}}{1-e^{-1}},& 0<x<1,\\ 0,& \text{其他}\end{array},\\ f_Y(y)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x,y)dx=\{\begin{array}{ll}{e}^{-y},& y>0,\\ 0,& \text{其他}\end{array}.\end{array}$$

（c）因 $f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$，$X,Y$ 独立，故 $F_Z(u)=F_X(u)F_Y(u)$。其中

$$F_X(u)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^u{f}_X(x)dx=\{\begin{array}{ll}0,& u<0,\\ \frac{1-e^{-u}}{1-e^{-1}},& 0\le u<1,\\ 1,& u\ge 1,\end{array}$$$$F_Y(u)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^u{f}_Y(y)dy=\{\begin{array}{ll}0,& u<0,\\ 1-e^{-u},& u\ge 0.\end{array}$$

于是

$$F_Z(u)=\{\begin{array}{ll}0,& u<0,\\ \frac{(1-e^{-u}{)}^2}{1-e^{-1}},& 0\le u<1,\\ 1-e^{-u},& u\ge 1.\end{array}$$