2023 秋数学分析期中(回忆版)

1

已知

$$F=ax(x+y)\cdot i+b{y}^2\cdot j-4xz\cdot k$$

是 $R^3$ 上的旋度场. 求常数 $a,b$ 的值, 并求其势函数.

2

求下列幂级数的收敛半径.

(1) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{3}^n{x}^{3n}$ ；

(2) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{(\frac{1}{n}-1)}^{n^2}{x}^n$ ；

(3) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^n}{n!}{x}^n$

3

判断下面数项级数是绝对收敛的, 条件收敛的还是发散的, 并证明你的结论.

(1) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\ln (1+\frac{1}{\sqrt{n}})$ ；

(2) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos n^2}{n^2}$ ；

(3) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\sin \frac{1}{n}$

4

设级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ 与 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ 都收敛, 且 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ 是正项级数.

证明: $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{b}_n$ 也收敛.

5

设 $a>0$ 是一个常数, 定义 $x_n=n-\frac{1}{n}(n\ge 2)$, 讨论级数的敛散性.

$$\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{x_2{x}_3\cdots x_n}{(a+x_2)(a+x_3)\cdots (a+x_n)}$$

6

证明: 函数项级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-x{)}^n}{n}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛

7

对 $x\in (0,+\mathrm{\infty })$, 定义 $f(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin \frac{x}{n}}{nx}$

7-1

证明: $f(x)$ 在 $(0,+\mathrm{\infty })$ 上连续.

7-2

证明: $\underset{x\to 0^{+}}{lim}f(x)$ 存在且有限.

8

设 $f_n(x)\in C([a,b]),n=1,2,\cdots$. 已知 $\{f_n(x)\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $f(x)$. 证明: 存在正整数 $M$, 使得 $|f_n(x)|\le M$ 对任意正整数 $n$ 和任意 $x\in [a,b]$ 成立.