MA203a 2022秋 数分三final(B) (回忆版)

1

求下面幂级数的收敛半径.

(1) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sin \frac{n\pi }{2}{x}^n$ ；

(2) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(e^n+e^{-n})x^{2n}$ ；

(3) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\arctan \frac{1}{4^n}\cdot x^n$

2

求出一个函数 $\phi :R^3\to R$, 使得

$\mathrm{grad}\phi =(x^2+\sin y,x\cos y+\sin z,y\cos z+z^2)$

3

证明: 级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\ln (n+2022)\cos n}{n}$ 收敛.

4

证明: 反常积分 ${\int }_0^1\frac{\sqrt{\arcsin x}}{\arctan x}dx$ 收敛.

5

对正整数 $n$, 定义 $f_n(x)=\frac{\sin nx}{e^{nx}}$.

5-1

证明: 级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)$ 在 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 上不一致收敛.

5-2

证明: 对任意 $\delta \in (0,\frac{\pi }{2}),\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)$ 在 $[\delta ,\frac{\pi }{2}]$ 上一致收敛.

6

求极限 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}({\int }_1^2\ln x{\cos }^{2}nxdx)$

7

设函数列 $\{f_n(x)\}$ 在 $[a,b]$ 上均可微, 且收敛于 $f(x)$.

已知函数 $\{f_n^{\prime }(x)\}$ 在 $[a,b]$ 上一致有界, 证明: $\{f_n(x)\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $f(x)$.

8

求反常积分 ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-x}\cdot \frac{\sin x}{x}dx$ 的值.