MA203a 2022秋 数分三final(A) (回忆版)

1

求下面幂级数的收敛半径.

(1) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\ln n\cdot x^n$ ；

(2) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}^n{x}^{3n+1}(a>0)$ ；

(3) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sin \frac{1}{2^n}\cdot x^n$

2

在 $R^3$ 中, 令 $F=(x{e}^{-y}+e^{-x},y{e}^{-z}+e^{-y},z{e}^{-x}+e^{-z})$. 证明: $F$ 是旋度场, 并求出 $F$ 的一个向量势.

3

把函数 $f(x)=x^{\frac{1}{2}}-2x^{\frac{3}{2}}+x^{\frac{5}{2}}$ 按 $1-x$ 的正整数幂展开成幂级数.

4

设 $a,b,c$ 是正实数, 定义 404 公式 NOT FOUND

4-1

证明: 若 $a=bc$, 则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ 绝对收敛；

4-2

证明: 若 $a\ne bc$, 则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ 发散.

5

对正整数 $n$, 定义 $f_n(x)=\frac{\sin (nx)}{1+nx}$.

5-1

证明: 级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)$ 在 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 上不一致收敛；

5-2

证明: 对任意 $\delta \in (0,\frac{\pi }{2}),\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)$ 在 $[\delta ,\frac{\pi }{2}]$ 上一致收敛.

6

证明: 反常积分 ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\arctan x\cdot {\sin }^{3}x}{x+1}dx$ 收敛.

7

设 $a_n={\int }_0^{\pi }\sqrt{x}\cos nxdx$, 求 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n^2$.

8

求反常积分 ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-x}\cdot \frac{1-\cos x}{x}dx$ 的值.