MA203a 2021秋 期中试卷

1

1-1

$R^3$ 内, $\overrightarrow{F}=(yz,xz,xy)$

证明: $\overrightarrow{F}$ 是有势场, 并求出它的势函数；

1-2

证明: $\overrightarrow{F}$ 是旋度场, 并求出它的向量势；

1-3

判断下列级数的敛散性.

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin n^2}{n\sqrt{n}}$

1-4

判断下列级数的敛散性.

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\sqrt{n^2+1}-n)$

2

2-1

$f,g$ 在 $R^3$ 上, $f,g,fg$ 都是调和函数. 对于任意的 $\overrightarrow{p}\in R^3$, $\mathrm{\nabla }f(\overrightarrow{p})$, $\mathrm{\nabla }g(\overrightarrow{p})$ 不为零向量. 证明: 对于任意的 $\overrightarrow{p}\in R^3$, $\mathrm{grad}f(\overrightarrow{p})$ 和 $\mathrm{grad}g(\overrightarrow{p})$ 垂直.

2-2

数列 $\left\{a_n\right\}$ 是严格递增的正项数列, $b_n=\frac{a_{n+1}-a_n}{a_n}$. 证明: $\left\{a_n\right\}$ 有界当且仅当级数 $\sum b_n$ 收敛.

3

3-1

$x\in (0,+\mathrm{\infty })$, $f(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\ln (1+\frac{x}{n})}{nx}$

证明: $f(x)$ 在 $(0,+\mathrm{\infty })$ 连续；

3-2

证明: $\underset{x\to 0^{+}}{lim}f(x)$ 存在.

4

数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ :

$S_n=\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}{t}_n=\frac{b_1+b_2+\cdots +b_n}{n}$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ 与 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ 的Cauchy 乘积是 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_n$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{S}_n$ 与 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ 的Cauchy 乘积是 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{y}_n$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{S}_n$ 与 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{t}_n$ 的Cauchy 乘积是 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{z}_n$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_n,\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{y}_n,\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{z}_n$ 都收敛. 证明: $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_n+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{y}_n=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{z}_n$

5

将 $\frac{1}{2-e^x}$ 展开成Maclaurin级数的形式 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$, 求 $a_n$ 的表达式(表达式为无穷级数形式).