MA203a 2021秋 期中试卷

一

$R^3$ 内, $\overrightarrow{F}=(yz,xz,xy)$

1-1

证明: $\overrightarrow{F}$ 是有势场, 并求出它的势函数；

1-2

证明: $\overrightarrow{F}$ 是旋度场, 并求出它的向量势；

二

判断下列级数的敛散性.

2-1

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin n^2}{n\sqrt{n}}$

2-2

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\sqrt{n^2+1}-n)$

三

求下面幂级数的收敛半径.

3-1

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}({}_g^n{x}^n)$

3-2

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{1^n+2^n+3^n+4^n+5^n}$

3-3

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sin \frac{1}{2^n}{x}^n$

四

$f,g$ 在 $R^3$ 上, $f,g,fg$ 都是调和函数. 对于任意的 $\overrightarrow{p}\in R^3$, $\mathrm{\nabla }f(\overrightarrow{p})$, $\mathrm{\nabla }g(\overrightarrow{p})$ 不为零向量.

证明: 对于任意的 $\overrightarrow{p}\in R^3$, $\mathrm{grad}f(\overrightarrow{p})$ 和 $\mathrm{grad}g(\overrightarrow{p})$ 垂直.

五

数列 $a_n$ 是严格递增的正项数列, $b_n=\frac{a_{n+1}-a_n}{a_n}$. 证明: $a_n$ 有界当且仅当级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ 收敛.

六

$x\in (0,+\mathrm{\infty })$, $f(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\ln (1+\frac{x}{n})}{nx}$

6-1

证明: $f(x)$ 在 $(0,+\mathrm{\infty })$ 连续；

6-2

证明: $\underset{x\to 0^{+}}{lim}f(x)$ 存在.

七

数列 $a_n,b_n$ :

$S_n=\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}{t}_n=\frac{b_1+b_2+\cdots +b_n}{n}$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ 与 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ 的Cauchy 乘积是 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_n$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{S}_n$ 与 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ 的Cauchy 乘积是 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{y}_n$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{S}_n$ 与 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{t}_n$ 的Cauchy 乘积是 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{z}_n$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_n,\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{y}_n,\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{z}_n$ 都收敛. 证明: $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_n+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{y}_n=0$

八

将 $\frac{1}{2-e^x}$ 展开成Maclaurin级数的形式 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$, 求 $a_n$ 的表达式(表达式为无穷级数形式).