一, (20分)单项选择题:

(1) 曲面 $2x^2+y^2=z$ 是

(A) 双叶双曲面

(B) 椭圆锥

(C) 单叶双曲面

(D) 椭圆扰物面

(2) 设 $k$ 为常数, 考虑极限

$$\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}\frac{x{y}^2\sin (kx)}{x^2+y^4},$$

则

(A) 极限不存在

(B) 极限为 $\frac{1}{2}$

(C) 极限为 0

(D) 以上都不对

(3) 设 $\mathbf{r}(t)=(e^t\cos t)\mathbf{i}+(e^t\sin t)\mathbf{j},t\in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ .则在其任意一点处 ${\mathbf{r}}^{\prime }(t)$ 与 $\mathbf{r}(t)$ 之间的夹角为

(A) $\frac{\pi }{4}$

(B) $\frac{\pi }{2}$

(C) $\frac{3\pi }{4}$

(D) 以上都不对

(4) 下列叙述中哪一个一定是正确的?

(A) 如果幂级数 ${}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$ 在 $x=1$ 处收敛, 那么级数 ${}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}n{a}_n$ 收玫

(B) 如果幂级数 $\stackrel{\mathrm{\infty }}{\overbrace{n=0}}{a}_n(x-1{)}^n$ 在 $x=-2$ 处收玫, 那么该级数在 $x=2$ 处也收敛

(C) 如果幂级数 ${\int }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$ 的收玫域为 $(-R,R)$, 那么幂级数 $\underset{n=0}{\underbrace{\mathrm{\infty }}}\frac{a_n{x}^{n+1}}{n+1}$ 的收敛域也为 $(-R,R)$

(D) 如果极限 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ 不存在, 那么幂级数 $\underset{n=0}{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$ 的收敛半径为 0

(5) 已知级数 $\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\to }}(-1{)}^n\sqrt{n+2025}\sin \frac{1}{n^{\alpha }}$ 绝对收敛, 级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n^{2-\alpha }}$ 条件收敛, 则 $\alpha$ 的取值范围是

(A) $0<\alpha <\frac{1}{2}$

(B) $\frac{1}{2}<\alpha <1$

(C) $1<\alpha <\frac{3}{2}$

(D) $\frac{3}{2}<\alpha <2$

二, (20分)填空题:

(1) 若 $\mathbf{v}=⟨0,4,-3⟩,\mathbf{u}=⟨4,-5,0⟩$, 则 ${\mathrm{proj}}_{\mathbf{v}}\mathbf{u}=$ $\underset{―}{}$

(2) 设 $a>0$ 为常数, 定义函数

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{a+2x^2{y}^2}-1}{x^2+y^2},& (x,y)\ne (0,0)\\ 0,& (x,y)=(0,0)\end{array}$$

若函数在 $(0,0)$ 处连续, 则 $a=$ $\underset{―}{}$

(3) 螺旋线

$$\mathbf{r}(t)=(a\cos t)\mathbf{i}+(a\sin t)\mathbf{j}+bt\mathbf{k},a,b\ge 0,a^2+b^2\ne 0$$

在任何一点的曲率为 $\underset{―}{}$

(4) 设 $f(x)=\frac{x-1}{4-x}$, 那么 $f^{(10)}(0)=$ $\underset{―}{}$

(5) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n}{2^n(n+1)!}=$ $\underset{―}{}$

三, (10分)若加速度 $\mathrm{a}(t)=-3\mathrm{k}$, 初始位移为 $\mathrm{r}(0)=10\mathrm{k}$, 初始速度为 $\mathrm{i}+\mathrm{j}$, 求位移函数 $\mathrm{r}(t)$

四, (10分)求过点 $(2,1,-1)$ 且与平面 $2x+y-z=3$ 和平面 $x+2y+z=2$ 的交线垂直的平面方程

五, ( 10 分)求同时在两个圆 $r=1$ 和 $r=2\sin \theta$ 内部的区域的面积

六, (10分)设数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_{n+1}=2-\frac{1}{a_n},a_1=2$

(1) 证明该数列单调递减且有下界

(2) 计算 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n$

七, (10分)

(1) 求级数

$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}{2}^n{x}^n}{\sqrt{n^2-n+1}}$$

的收玫半径和收玫域

(2) $x$ 取哪些值时级数绝对收敛, 取哪些值时级数条件收敛?

八, (10分)计算下列极限(不允许使用洛必达法则)

(1) $\underset{x\to 0}{lim}\ln (1+x)\ln (1-x)-\ln (1-x^2)$