高等数学(下) \ 2023-2024学年春期中复习回忆

＊此版本为同学回忆版, 仅供参考复习, 若有出入, 敬请谅解.

1.单选题(20分)

(1) (记不清具体数据)考点: 点( $x,y,z$ )到直线 $Ax+By+Cz=D$ 的距离是:

(2) a surface : $x^2+y^2-z^2=1$ is

(A) Elliptical Cone

(B) Hyperboloid of two sheets

(C) Hyperboloid of one sheet

(D) Elliptical paraboloid

(3) 高中题.平面 through the point $(1,0,-1)$, 和向量 $⟨2,1,1⟩$ and $⟨1,-1,0⟩$ 平行, 平面的方程是:

(A) $\mathrm{x}+\mathrm{y}+3\mathrm{z}=-2$

(B) $\mathrm{x}+\mathrm{y}-3\mathrm{z}=4$

(C) $\mathrm{x}-\mathrm{y}+3\mathrm{z}=-2$

(D) $x-y-3z=4$

(4) 有级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{{\sin }^{p}n}{n^2}+\frac{(-1{)}^n}{n})(p>0)$, 描述中一定正确的是

(A) It diverges

(B) It converges conditionally

(C) It converges absolutely

(D) Its convergence depends on p

(5) 如果 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$ converges, the following series

$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{(u_n+u_{n+1})}^2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\left(u_n\right)}^2}{n}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(u_{2n-1}{u}_{2n}\right)\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(u_n+2u_{n+1})$$

How many series must converge among the above 4 series?

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

2.填空(20分)

(1) 螺旋线(helix) ${\mathbf{r}}_1(\mathrm{t})=\mathrm{cost}\mathbf{i}+\mathrm{sint}\mathbf{j}+\mathrm{tk}$ 和曲线(curve) ${\mathbf{r}}_2(\mathrm{t})=$ $(1+t)\mathbf{i}+8t^2\mathbf{j}+7t^3\mathbf{k}$ 在点( $1,0,0$ )相交(intersects), 它们在交点处的夹角为 $\underset{―}{}$

(2) 考点: 点到直线的距离 $\underset{―}{}$ -点: $(3,2,1)$, 直线: $x=1+t,y=2+2t,z=3-2t$

(3) 如果 $x=t^{\wedge }3+4t,y=t^{\wedge }2-3t$, 那么 ${\frac{d^{2}y}{d{x}^2}|}_{t=0}=$ $\underset{―}{}$.

(4) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n\cdot 2^n}=$ $\underset{―}{}$

(5) If $f(x)=\frac{x^{10}}{1+2x}$, then $f^{(15)}(0)=$ $\underset{―}{}$

3.有参数曲线 $\{x(t)=\sin t,y(t)={\cos }^{2}t,z(t)=\cos t\},0⩽t⩽\pi /2$, 找其上面的一个点, 使点的坐标满足条件: its tangent line is parallel to the plane $\mathrm{x}+\mathrm{z}=0$.( 10 分)

4.(考点: 曲率圆的方程)Find an equation for the circle of curvature of the graph of $y=\cos x$ at $x=0$ .(10分)

5.有曲线 $r=1-\cos \theta ,0⩽\theta ⩽\pi$, 将其绕 $x$ 轴旋转形成旋转面 $S$, 求旋转面 $S$的面积.(10分)

6.计算极限(禁止使用洛必达法则).(10分)

(1) $\frac{{\mathrm{Lim}}_{x\to \mathrm{\infty }}}{}(\frac{1}{e^{1/x}-1}-x)$

(2) $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{e^{x^2+x}-e^x+2\mathrm{In}(\cos x)}{x^3}$

7.请分析下列series是converge absolutely, converge conditionally, 还是diverge? 说明理由.(10分)

(1) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\sin \frac{1}{n^2}$

(2) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{2n+{\sin }^{2}n}$

8.求 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{3^n+(-2{)}^n}\cdot \frac{x^n}{n}$ 的收敛域.(10分)