MA127-2025春 期中考试

考试科目: 高等数学(下)
2024-2025学年 春季学期 期中考试试卷

一、单项选择题（20分）

1-1

曲面 $2x^2+y^2=z$ 是

(A) 双叶双曲面

(B) 椭圆锥

(C) 单叶双曲面

(D) 椭圆抛物面

1-2

设 $k$ 为常数，考虑极限

$$\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}\frac{x{y}^2\sin (kx)}{x^2+y^4},$$

则

(A) 极限不存在

(B) 极限为 $\frac{1}{2}$

(C) 极限为 0

(D) 以上都不对

1-3

设 $\mathbf{r}(t)=(e^t\cos t)\mathbf{i}+(e^t\sin t)\mathbf{j},t\in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$。则在其任意一点处 ${\mathbf{r}}^{\prime }(t)$ 与 $\mathbf{r}(t)$ 之间的夹角为

(A) $\frac{\pi }{4}$

(B) $\frac{\pi }{2}$

(C) $\frac{3\pi }{4}$

(D) 以上都不对

1-4

下列叙述中哪一个一定是正确的？

(A) 如果幂级数 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$ 在 $x=1$ 处收敛，那么级数 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}n{a}_n$ 收敛

(B) 如果幂级数 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-1{)}^n$ 在 $x=-2$ 处收敛，那么该级数在 $x=2$ 处也收敛

(C) 如果幂级数 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$ 的收敛域为 $(-R,R)$，那么幂级数 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n{x}^{n+1}}{n+1}$ 的收敛域也为 $(-R,R)$

(D) 如果极限 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ 不存在，那么幂级数 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$ 的收敛半径为 0

1-5

已知级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\sqrt{n+2025}\sin \frac{1}{n^{\alpha }}$ 绝对收敛，级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n^{2-\alpha }}$ 条件收敛，则 $\alpha$ 的取值范围是

(A) $0<\alpha <\frac{1}{2}$

(B) $\frac{1}{2}<\alpha <1$

(C) $1<\alpha <\frac{3}{2}$

(D) $\frac{3}{2}<\alpha <2$

二、填空题（20分）

2-1

若 $\mathbf{v}=⟨0,4,-3⟩,\mathbf{u}=⟨4,-5,0⟩$，则 ${\mathrm{proj}}_{\mathbf{v}}\mathbf{u}=$ $\underset{―}{}$

2-2

设 $a>0$ 为常数，定义函数

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{a+2x^2{y}^2}-1}{x^2+y^2},& (x,y)\ne (0,0)\\ 0,& (x,y)=(0,0)\end{array}$$

若函数在 $(0,0)$ 处连续，则 $a=$ $\underset{―}{}$

2-3

螺旋线

$$\mathbf{r}(t)=(a\cos t)\mathbf{i}+(a\sin t)\mathbf{j}+bt\mathbf{k},a,b\ge 0,a^2+b^2\ne 0$$

在任何一点的曲率为 $\underset{―}{}$

2-4

设 $f(x)=\frac{x-1}{4-x}$，那么 $f^{(10)}(0)=$ $\underset{―}{}$

2-5

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n}{2^n(n+1)!}=$ $\underset{―}{}$

三

若加速度 $\mathbf{a}(t)=-3\mathbf{k}$，初始位移为 $\mathbf{r}(0)=10\mathbf{k}$，初始速度为 $\mathbf{i}+\mathbf{j}$，求位移函数 $\mathbf{r}(t)$

四

求过点 $(2,1,-1)$ 且与平面 $2x+y-z=3$ 和平面 $x+2y+z=2$ 的交线垂直的平面方程

五

求同时在两个圆 $r=1$ 和 $r=2\sin \theta$ 内部的区域的面积

六

设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+1}=2-\frac{1}{a_n},a_1=2$

6-1

证明该数列单调递减且有下界

6-2

计算 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n$

七

7-1

求级数

$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}{2}^n{x}^n}{\sqrt{n^2-n+1}}$$

的收敛半径和收敛域

7-2

$x$ 取哪些值时级数绝对收敛，取哪些值时级数条件收敛？

八

计算下列极限（不允许使用洛必达法则）

8-1

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln (1+x)\ln (1-x)-\ln (1-x^2)}{x^2\ln (1-\cos x)}$$

8-2

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1-\cos (\ln (1+x^2))}{\sin (x^2)(e^{x^2}-\cos x)}$$