MA127-2024春 期中考试（回忆版）

注：此版本为同学回忆版，仅供参考复习，若有出入，敬请谅解。

一、单项选择题（20分）

1-1

（记不清具体数据）

考点：点 $(x,y,z)$ 到平面 $Ax+By+Cz=D$ 的距离是：

1-2

A surface: $x^2+y^2-z^2=1$ is

(A) Elliptical Cone

(B) Hyperboloid of two sheets

(C) Hyperboloid of one sheet

(D) Elliptical paraboloid

1-3

高中题

平面 through the point $(1,0,-1)$，和向量 $⟨2,1,1⟩$ and $⟨1,-1,0⟩$ 平行，平面的方程是：

(A) $x+y+3z=-2$

(B) $x+y-3z=4$

(C) $x-y+3z=-2$

(D) $x-y-3z=4$

1-4

有级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{{\sin }^{p}n}{n^2}+\frac{(-1{)}^n}{n})(p>0)$，描述中一定正确的是

(A) It diverges

(B) It converges conditionally

(C) It converges absolutely

(D) Its convergence depends on $p$

1-5

如果 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$ converges，the following series

$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(u_n+u_{n+1}{)}^2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(u_n{)}^2}{n}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(u_{2n-1}{u}_{2n})\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(u_n+2u_{n+1})$$

How many series must converge among the above 4 series?

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

二、填空题（20分）

2-1

螺旋线（helix）${\mathbf{r}}_1(t)=\cos t\mathbf{i}+\sin t\mathbf{j}+t\mathbf{k}$ 和曲线（curve）${\mathbf{r}}_2(t)=(1+t)\mathbf{i}+8t^2\mathbf{j}+7t^3\mathbf{k}$ 在点 $(1,0,0)$ 相交（intersects），它们在交点处的夹角为 $\underset{―}{}$

2-2

考点：点到直线的距离 $\underset{―}{}$

点：$(3,2,1)$，直线：$x=1+t,y=2+2t,z=3-2t$

2-3

如果 $x=t^3+4t,y=t^2-3t$，那么 ${\frac{d^{2}y}{d{x}^2}|}_{t=0}=$ $\underset{―}{}$

2-4

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n\cdot 2^n}=$ $\underset{―}{}$

2-5

If $f(x)=\frac{x^{10}}{1+2x}$, then $f^{(15)}(0)=$ $\underset{―}{}$

三

有参数曲线 $\{x(t)=\sin t,y(t)={\cos }^{2}t,z(t)=\cos t\}$，$0\le t\le \pi /2$，找其上面的一个点，使点的坐标满足条件：its tangent line is parallel to the plane $x+z=0$。

四

（考点：曲率圆的方程）

Find an equation for the circle of curvature of the graph of $y=\cos x$ at $x=0$。

五

有曲线 $r=1-\cos \theta ,0\le \theta \le \pi$，将其绕 $x$ 轴旋转形成旋转面 $S$，求旋转面 $S$ 的面积。

六

计算极限（禁止使用洛必达法则）

6-1

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{e^{1/x}-1}-x)$

6-2

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^{x^2+x}-e^x+2\ln (\cos x)}{x^3}$

七

请分析下列 series 是 converge absolutely，converge conditionally，还是 diverge？说明理由。

7-1

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\sin \frac{1}{n^2}$

7-2

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{2n+{\sin }^{2}n}$

八

求 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{3^n+(-2{)}^n}\cdot \frac{x^n}{n}$ 的收敛域。