2023春高数下期末试题(回忆版)

一 单项选择题

1-1

下列哪一个向量与曲线 $r(t)=(1+\frac{1}{t^2})i+(1-\frac{3}{t})j+t^{2}k$ 在点 $P=(2,-2,1)$ 处的切线垂直?

(A) $v=⟨1,2,1⟩$

(B) $v=⟨1,2,2⟩$

(C) $v=⟨-1,-2,2⟩$

(D) $v=⟨-1,-2,-2⟩$

1-2

函数 $f(x,y,z)=x^{2}y+z^2$ 在点 $(1,2,0)$ 处沿向量 $v=⟨1,2,2⟩$ 的方向的方向导数是

(A) 12

(B) 6

(C) 4

(D) 2

1-3

级数

$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{(1-\frac{a}{n})}^{n^2}$$

(A) 对任意实数 $a$ 都收敛

(B) 当 $a\in (-1,1)$ 时收敛

(C) 当a为任意正实数时收敛

(D) 当 $a$ 为任意负实数时收敛

1-4

$\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}(1+\sin (xy){)}^{\frac{1}{x^2+y^2}}=$

(A) 0

(B) 1

(C) e

(D) 极限不存在

1-5

${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{\int }_0^{2\cos \theta }f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdrd\theta =$

(A) ${\int }_0^1{\int }_y^{\sqrt{2y-y^2}}f(x,y)dxdy$

(B) ${\int }_0^1{\int }_{1-\sqrt{1-y^2}}^{y}f(x,y)dxdy$

(C) ${\int }_1^2{\int }_{-\sqrt{2x-x^2}}^{\sqrt{2x-x^2}}f(x,y)dydx+{\int }_0^1{\int }_{-2}^{2}f(x,y)dydx$

(D) ${\int }_0^1{\int }_0^{2}f(x,y)dydx+{\int }_1^2{\int }_0^{\sqrt{2x-x^2}}f(x,y)dydx$

二 填空题

2-1

曲面 $xyz+e^{z+x}=0$ 在点 $(1,1,-1)$ 处的切平面的方程是 $\underset{―}{}$

2-2

若函数 $f(x)$ 的麦克劳林级数为 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n+2}}{n(n+4)2^n}$, 则 $f^{(6)}(0)=$ $\underset{―}{}$

2-3

曲线 $r(t)=e^t\cos ti+e^t\sin tj+2k$ 的曲率 $k=$ $\underset{―}{}$

2-4

若函数 $y=y(x)$ 的参数方程为 $x=2t+{\ln }^{2}t,y=(t+\ln t{)}^2,t>0$, 则 $\frac{d^{2}y}{d{z}^2}|t=1=$ $\underset{―}{}$

2-5

${\int }_0^1{\int }_2^{1}x{e}^{-y^3}dydx=$ $\underset{―}{}$

三

求函数 $f(x,y)=x^3+2y^2-3x-12y$ 的所有极值

四

4-1

求级数 $\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n(x-1{)}^{2n+1}}{(n+2023)\ln n}$ 的收敛域

4-2

x取哪些值时上述级数绝对收敛, 取哪些值时条件收敛

五

若上半球 $D=x^2+y^2+z^2\le 1,z\ge 0$ 的密度函数为 $\delta (x,y,z)=z$, 计算此上半球的质心

六

已知向量场 $F=(y\sin z+2)i+(x\sin z)j+(xy\cos z)k$ 是保守场, 求F的势函数, 并计算曲线积分 ${\int }_{C}F\cdot dr$ .这里C是从点 $A(1,-2,\frac{\pi }{3})$ 到点 $B(2,1,\frac{\pi }{4})$ 的光滑曲线

七

向量场 $F(x,y,z)=(z+x{y}^2)i+(2y+y^3)j-4z{y}^{2}k$ 的定义域 $V$ 是夹在如下曲面 $S_1$ 和 $S_2$ 之间的闭区域, 这里 $S_1:=\{(x,y,z):z={(x^2+y^2)}^2-1\},S_2:=\{(x,y,z):z=4-4(x^2+y^2)\}$

使用散度定理来计算向量场下通过V的边界从内向外的通量(flux)

八

设曲面 $S$ 是椭圆抛物面 $z=x^2+4y^2$ 在平面 $z=1$ 下方的部分, 曲面 $S$ 的内法向量 $n$ 的方向如下图所示计算 ${\iint }_S\mathrm{\nabla }\times F\cdot nd\sigma$,

这里 $F=(y+x^2\ln (x^4+1))i+(e^{\sin y}-xz)j+(x{z}^2+\cos (z^2+1))k$