\begin{tabular}

\hline 题号 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 总分 & 评卷人 \

\hline 分数 & 20 & 0 & $\omega$ & 10 & 10 & 0 & 10 & 10 & & & \multirow{2}{*}{} & \

\hline 题号 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 0 \

\hline 分数 & & & & & & & & & & & & \

\hline

\end

南方科技大学考生须知

1.考生须按规定考试时间, 提前 10 分钟进入考场.开考 30 分钟之后不得进场, 开考 30 分钟之内不得离开考场.

2.考生须携带校园卡进入考场, 以便监考教师检查核

(学生填写信息)

考试科目: $\underset{―}{}$高等数学

任深数雨: $\underset{―}{}$季光先

年级:

菏天一

-(1)$|D|$

(2) (C)

(3) (D)

(4) (B)

$(5)(B)$

二,

(1) 0

(2) $y=0,y=2x$

(3) ${\left(\frac{7}{8}\right)}^{4/3}$

(4) $2\sqrt{3}+2-\pi /3$

(5) $\frac{\sqrt{3}}{48}$

三.$x^2+2x{y}^2+3y^4=6$

(10)取微分:

$2xdx+2y^{2}dx+4xydy+12y^{3}dy=0$

$\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{-2(x+y^2)}{4y(x+3y^2)}=\frac{-(x+y^2)}{2y(x+3y^2)}$

在 $P(1,-1)$ 处,

${\frac{dy}{dx}|}_{x=1,y=-1}=\frac{1}{4}$

故阽切伐方程:

$$y=\frac{1}{4}(x-1)-1=\frac{1}{4}x-\frac{5}{4}$$

［1］

$y=x{\int }_2^{x^2}\sin \left(t^3\right)dt=x[F\left(x^2\right)-F(2)]$

其中.$F(x)={\int }_a^x\sin \left(t^3\right)dt{F}^{\prime }(x)=\sin x^3$

故 $\frac{dy}{dx}={\int }_2^{x^2}\sin \left(t^3\right)01t+x{f}^{\prime }\left(x^2\right)\cdot 2x$

$$={\int }_2^{x^2}\sin \left(t^3\right)dt+2x^2\sin x^6$$

石 $x=0$ 处

五: 可导需满足两个待件:

(1) $f(x)$ 在 $x=0$ 处连渎:

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0^{+}}{lim}f(x)& =\underset{x\to 0^{-}}{lim}f(x)=f(0)\\ \Rightarrow b& =\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{1-\cos x}{x}+a)=\underset{x\to 0^{+}}{lim}[\frac{2{\sin }^2\frac{x}{2}}{4{\left(\frac{x}{2}\right)}^2}\cdot x]+a.\\ & {=\underset{x\to 0^{+}}{lim}+\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}})}^2\cdot \underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{1}{2}x+a\\ & =0+a=a\end{array}$$

故 $b=a$

(2) $f(x)$ 在 $x=0$ 处左布导数暞等.

$$\begin{array}{rl}& \underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0^{-}}{lim}-\frac{f(x)-f(0)}{x-c}.\\ & \Rightarrow \underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{1-\cos x}{x^2}=a.\\ & \Rightarrow a=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{2\sin \frac{x}{2}}{x^2}=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{2}{4}{\left(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)}^2=\frac{1}{2}.\\ & \text{ 故 }a=\frac{1}{2}\end{array}$$

综上所述, $a=b=\frac{1}{2}$

六: $f(x)=\frac{1}{2}x-\sin x,0<x<3\pi$

(A) .$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}-\cos x$, 在 $(0,3\pi )$ 处处连续, 均省栬义.

( $\gamma ⩽f^{\prime }(x)=0\Rightarrow \cos x=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{3},\frac{7\pi }{3}$

由于 $f(x)$ 无端点值.故 $f(x)$ 庄 $x=\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{3},\frac{\pi \pi }{3}$ 取局部极值.

局部极值分别为:

$$f\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{2}f\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=\frac{5\pi }{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}f\left(\frac{7\pi }{3}\right)=\frac{7\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

(B) $f^{\prime \prime }(x)=\sin x_1$

当 $f^{\prime \prime }(x)>0\Rightarrow x0<x<\pi$ 或 $2\pi <x<3\pi$, 为

当 $f^{\prime \prime }(x)<0\Rightarrow \pi <x<2\pi$

$$f(\pi )=\frac{\pi }{2}$$

七:

八:

设 $AB=x,AC=\frac{1}{x},\mathrm{\angle }ABC=\theta ,\mathrm{\angle }ADB=\theta$ 10 在 $\mathrm{△}ABD$ 中, 正弦定理:

$$\frac{x}{\sin \beta }=\frac{AD}{\sin \theta }$$

社 $\mathrm{△}ADC$ 中正弦负理:

$$\frac{\frac{1}{x}}{\sin (\pi -\beta )}=\frac{AD}{\sin (\frac{\pi }{3}-\theta )}=\frac{1}{x\sin \beta }$$

(1) $\Rightarrow x^2=\frac{\sin (\frac{\pi }{3}-\theta )}{\sin \theta }$

II()$\Rightarrow AD=\frac{\sin \theta }{\sin \left(\frac{\pi }{3}\theta \right)}x$

$A{D}^2$ 最大为 $\frac{1}{4}$

$f(h)=1+hg(h)$

$\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x)f(h)-f(x)}{h.}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x)(f(x)-1)}{h.}=f(x)\cdot \underset{h\to 0}{lim}\frac{f(h)-1}{h}$阣 $f(x)$ 在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 上处处可导.

$\beta =\frac{27}{3}-\theta$

$A{D}^2=\frac{\sin \theta \cdot \sin (\frac{\pi }{3}-\theta )}{{\sin }^2(\frac{3\pi }{3}-\theta )}=\frac{\cos (2\theta -\frac{\pi }{3})-\frac{1}{2}}{2{\sin }^2(\frac{\pi }{3}-\theta )}=\frac{\cos (2\theta -\frac{\pi }{3})-\frac{1}{2}}{1-\cos (\frac{4\pi }{3}-2\theta )}$

$=\frac{\cos (2\theta -\frac{\pi }{3})-\frac{1}{2}}{1+\cos (2\theta -\frac{\pi }{3})}=\frac{12u-1}{2+241}=1-\frac{3}{2+24}$

$\theta \in (0,\frac{\pi }{3})2\theta -\frac{\pi }{3}\in (-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3})u=105(2\theta -\frac{\pi }{3})\in (0,\frac{1}{2},1)]$

令 $f(u)=1-\frac{3}{2(1+u)}$ 在 $u(\begin{array}{l}(\frac{1}{2},1]\text{ 单垃. }\end{array}$

故当目仅当 $U=1$ 时, 即 $\theta =\frac{\pi }{36}$ 时.

故｜AD)最大值为 $\frac{1}{2}$.

$f(x)$ 导数定义:

有: $\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(h)-1}{h}=\underset{h\to 0}{lim}g(h)=1$

故 $\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f(x)$ 在 $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ 存在