SUSTECH2019高数上期末参考答案

作者: WY

1.(判断题)

(1) 对, 无穷大分阶问题, 参考quiz4中的判断题.

(2) 对, 简单的换元法, $u=a-x$.

(3) 对, 局部最小值问题及凹凸性, 参考quiz2的第4题.

(4) 对, 复合函数的连续性, $(f(x){)}^2=|f(x){|}^2$.

(5) 错, 洛必达法则反过来对吗? 有反例.比如,

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2\sin \frac{1}{x},& x\ne 0\\ 0,& x=0\end{array}$$

和 $g(x)=x$.这个反例给出洛必达法则失效的情景.

2.(选择题)

(1) A, 反函数导数问题, 参考quiz4中的选择题.

(2) B, 零点问题, 简单作图, 把方程写成 $(x-3{)}^2=-\frac{c}{x}$.

(3) D, 左右极限概念, 注意当 $x\to 0^{-}$时, 有 $x-\sin x\to 0^{-}$和 $x^2+x\to 0^{-}$.

(4) A, 不连续点(间断点)的分类, 验证 $x=0$ 是可去不连续点, $x=1$ 是跳跃不连续点.

(5) C, 奇偶性, 注意到奇函数在 0 点的取值必为 0, 因此可以排除 A 和 D, 简单带入 $f(x)\equiv 1$ 可以排除 B, 因此选 C.

3.(参数的计算)

可参考quiz1中的第7题.注意三点: 1)可微性推出连续性；2)连续性能得到左极限＝右极限；可微性可推出左导数＝右导数.

4.(极限的计算)

可参考quiz4中的第3题.

第一题, 重要考点: 洛必达法则的应用.小技巧: 1) $\tan x$ 和 $\sin x$ 在 0 点和 $x$ 同阶, 可替换, 方便使用洛必达法则.

第二题, 重要考点: 指数, 对数函数的性质, 重要极限结果的应用.小技巧, 简化整理成标准形式.

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{x})}^x=e=\underset{t\to 0}{lim}(1+t{)}^{\frac{1}{t}}$$

5.(平面区域面积的计算, 积分的简单应用)

$$\begin{array}{rl}2{\int }_0^4(\frac{x^2}{2}+4-|x^2-4|)dx=& 2{\int }_0^2(\frac{x^2}{2}+4-(4-x^2))dx\\ & +2{\int }_2^4(\frac{x^2}{2}+4-(x^2-4))dx\end{array}$$

注意: 如果被积函数中有绝对值函数, 请注意分区间积分, 去掉绝对值再计算积分.

6.(旋转体表面积的计算, 积分的简单应用)

不记得相应的积分公式, 请回忆推导过程, 积分思想, 不难.

$$S=2{\int }_0^{1}2\pi y(x)\sqrt{1+{(y^{\prime }(x))}^2}dx$$

这里

$$y(x)={(1-x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$$

注意:

• 1)灵活运用几何体的对称性
• 2)需要先确定变量取值范围, 这里 $x$ 的取值范围是 $[-1,1]$, 由于对称性, 最后积分中只需取 $[0,1]$.

7.(求解参数问题, 隐式求导和导数的几何意义-切线斜率)

首先, 根据条件点在曲线上建立第一个方程:

$$(b-a{)}^3=b+a$$

其次, 对曲线方程(隐式)求导, 得出

$$3(y-x{)}^2\cdot (\frac{dy}{dx}-1)=\frac{dy}{dx}+1$$

带入点的坐标和该点处切线斜率 $\frac{dy}{dx}=3$, 得到第二个方程:

$$3(b-a{)}^2\cdot 2=4$$

注意

• 1)切线斜率跟导数的关系
• 2)隐式求导时注意链式法则
• 3)最后解方程时不要遗漏解, 比如这里 $a,b$ 有两组解.如果有时间, 一定要检查下, 特别是在会做的情况下的简单的计算类题型.

8.(链式法则, 微积分基本定理的应用)

首先, 由指数函数的性质和链式法则可以得到:

$$f^{\prime }(2)=e^{g(2)}\cdot g^{\prime }(2)$$

带入 $x=2$, 注意到 $g(2)$ 中的积分上界 $=$ 积分下界, 因此 $g(2)=0$.其次, 根据微积分基本定理,

$$g^{\prime }(x)=\frac{\frac{x^2}{2}}{1+{\left(\frac{x^2}{2}\right)}^4}\cdot x$$

带入 $x=2$ 可得 $g^{\prime }(2)=\frac{4}{17}$.

最后, 结合上述计算结果,

$$f^{\prime }(2)=e^{g(2)}\cdot g^{\prime }(2)=\frac{4}{17}$$

注意

• 1)链式法则的应用, 指数函数的性质
• 2)当积分上界是 $x$ 的函数时, 怎么求导, 可参考补充作业 8 的第 8 题
• 3)带入数字计算时一定要仔细.

9.(计算不定积分, 定积分)

(1) 换元法, 带有根号时可尝试的一种换元: $t=\sqrt{1+e^x}$.

(2) 有理函数的积分, 熟悉有理函数化为部分分式之和的一般规律.

(3) 可以把被积函数改写成:

$${\tan }^{2}x\sec x=\frac{{\tan }^{2}x}{\sec x}\cdot {\sec }^{2}x=\frac{{\tan }^{2}x}{\sqrt{1+{\tan }^{2}x}}\cdot {\sec }^{2}x$$

注意这里常用的两个关系式:

$${\sec }^{2}x=1+{\tan }^{2}x$$

和

$$d\tan x={\sec }^{2}xdx$$

(4) 被积函数中包含绝对值函数的定积分计算.根据绝对值里面函数的性质, 把积分区间分成 $[\frac{1}{2},1]$ 和 $[1,\frac{3}{2}]$.之后, 对根号里面的二次多项式进行配方法, 比如:

$$\sqrt{x(1-x)}=\sqrt{\frac{1}{4}-{(x-\frac{1}{2})}^2}$$

再用相应的换元法.

10.(应用题, 建模并求解)

首先, 我们需要根据题意建立数学模型.由于问题跟时间有关, 因此相关模型会是相应的微分方程.注意到, 问题关注的是有多少盐, 这提示我们如何设未知函数.因此, 我们设 $t$ 时刻蓄水池的含盐量为 $y(t)$.此时整个蓄水池混合液的容量为:

$$800+16t-8t=800+8t$$

因此, 此时盐水的溶度为:

$$\frac{y}{800+8t}$$

从 $t$ 到 $t+dt$ 这段时间, 蓄水池中的含盐量的改变量可近似为:

$$\begin{array}{rl}dy& =0.0625\cdot 16dt-\frac{y}{800+8t}\cdot 8dt\\ & =(1-\frac{y}{100+t})dt\end{array}$$

接着, 第二步就是求解这个微分方程.首先, 我们可以把微分方程改写成:

$$(100+t)y^{\prime }=100+t-y$$

因此,

$$[(100+t)y{]}^{\prime }=y+(100+t)y^{\prime }=100+t$$

令 $f(t)=(100+t)y(t)$, 那么

$$f^{\prime }=100+t$$

这样,

$$f(t)=\frac{1}{2}{t}^2+100t+C$$

注意到 $f(0)=100y(0)=0$.那么我们很容易得到 $C=0$ 并且

$$y(t)=\frac{\frac{1}{2}{t}^2+100t}{100+t}$$

另外一方面, 根据 $800+16t-8t=1600$, 得出蓄水池在 $t=100$ 时正好装满混合液.因此, 在这个时刻, 蓄水池含盐量(单位为公斤)为:

$$y(100)=100$$

注意: 一般求解数学模型不会很复杂, 多尝试改写方程, 变换函数, 换元法等.

11.(微积分基本定理的应用, 变限积分求导, 单调性, 凹凸性)

首先, 注意到在 $F(x)$ 定义的第一个积分里面, $u$ 是变量, 因此可以把积分里面的 $x$ 放到第一个积分号外面, 把 $F(x)$ 改写成:

$$F(x)=x{\int }_{\frac{1}{x}}^{1}f(u)du+{\int }_1^{\frac{1}{x}}\frac{f(u)}{u^2}du$$

这样, 根据微积分基本定理和链式法则,

$$\begin{array}{rl}{F}^{\prime }(x)& ={\int }_{\frac{1}{x}}^{1}f(u)du+\frac{f\left(\frac{1}{x}\right)}{x}-f\left(\frac{1}{x}\right)\\ & ={\int }_{\frac{1}{x}}^{1}f(u)du-f\left(\frac{1}{x}\right)(1-\frac{1}{x})\end{array}$$

其次, 根据条件, $f(u)$ 是严格单调增函数, 因此:

(A) 如果 $\frac{1}{x}<1$, 由于 $f(u)>f\left(\frac{1}{x}\right)$ 对所有 $u>\frac{1}{x}$ 成立, 因此, 我们得到 $F^{\prime }(x)>$ 0.

(B) 如果 $\frac{1}{x}>1$, 改写

$$F^{\prime }(x)=-{\int }_1^{\frac{1}{x}}f(u)du+f\left(\frac{1}{x}\right)(\frac{1}{x}-1)$$

由于 $f(u)<f\left(\frac{1}{x}\right)$ 对所有 $u<\frac{1}{x}$ 成立, 因此, 我们依然得到 $F^{\prime }(x)>0$.综上所述, $F(x)$ 在整个区间 $(0,\mathrm{\infty })$ 上单调增.

接着, 根据微积分基本定理和链式法则,

$$\begin{array}{rl}{F}^{\prime \prime }(x)& =f\left(\frac{1}{x}\right)\cdot \frac{1}{x^2}+f^{\prime }\left(\frac{1}{x}\right)\cdot (-\frac{1}{x^2})\cdot (\frac{1}{x}-1)+f\left(\frac{1}{x}\right)\cdot (-\frac{1}{x^2})\\ & =-\frac{1-x}{x^3}{f}^{\prime }\left(\frac{1}{x}\right)\end{array}$$

因此, 由于 $f^{\prime }(\cdot )>0,F^{\prime \prime }(x)>0$ 如果 $x>1;F^{\prime \prime }(x)<0$ 如果 $0<x<1$.回顾, $F^{\prime }(0)=0$, 因此, $F$ 的图像在区间 $(1,\mathrm{\infty })$ 上凹, 在区间 $(0,1)$ 下凹.

注意: 单调性算一阶导数, 凹凸性算二阶导数.另外有时需要注意不可导的位置.

12.(如何建立未知函数的微分方程, 导数定义, 变量分离方程求解)

解答该题的关键是想到要建立未知函数的微分方程.

为了建立未知函数的微分方程, 我们需要根据导数的定义,

$$\begin{array}{rl}\frac{dg}{dx}=g^{\prime }(x)& =\underset{h\to 0}{lim}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{\frac{g(x)+g(h)}{1-g(x)g(h)}-g(x)}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}[\frac{g(h)}{h}\cdot \frac{1+g^2(x)}{1-g(x)g(h)}]\\ & =1+g^2(x)\end{array}$$

因此, 我们得到关于未知函数 $g(x)$ 的微分方程:

$$\frac{dg}{dx}=1+g^2$$

改写一下, 得到:

$$\frac{dg}{1+g^2}=dx$$

因此, $\arctan g=x+C$, 这里 $c$ 是一个常数.由于条件(ii)给出 $g(0)=0$, 这样, $C=0$.因此, 这样我们解出

$$g(x)=\tan x$$