2015秋高数上期末试题(回忆版)

(一)单项选择题

1.设 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$ 存在, $\underset{x\to x_0}{lim}g(x)$ 不存在, 则( )

(A) $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)g(x)$ 必不存在；

(B) $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)g(x)$ 必存在；

(C) $\underset{x\to x_0}{lim}[f(x)+g(x)]$ 必不存在；

(D) $\underset{x\to x_0}{lim}[f(x)+g(x)]$ 必存在.

2.设 $f(x)$ 在 $R\mathrm{上}$ 连续, 且 $f(x)\ne 0,\phi (x)$ 在 R上有定义, 且有间断点(或称为不连续点), 则下列说法不正确的是( ).

(A) $\phi (f(x))$ 必有间断点

(B) $[\phi (x){]}^2$ 未必有间断点

(C) $f(\phi (x))$ 未必有间断点

(D) $\phi (x)/f(x)$ 必有间断点

3.设 $f$ 有一阶连续导数, $I={\int }_0^{\pi }f(\cos x)\cos xdx-{\int }_0^{\pi }{f}^{\prime }(\cos x){\sin }^{2}xdx$, 则 $I=($ )

(A) 0

(B) 1

(C) $\pi$

(D) $\frac{\pi }{2}$

4.曲线 $y=x\ln x$ 的平行于直线 $x-y+1=0$ 的切线方程为( ).

(A) $y=x-1$

(B) $y=-(x+1)$

(C) $y=(\ln x-1)(x-1)$

(D) $y=x$

5.函数 $y=x^2{e}^{-x}$ 的图像在 $(1,2)$ 内是( ).

(A) 单调减少旦向上凹的(concave up)；

(B) 单调增加且向上凹的(concave up)；

(C) 单调减少且向下凹的(concave down)；

(D) 单调增加且向下凹的(concave down).

(二)填空题

1. $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\pi }{n}[{\cos }^2\left(\frac{\pi }{n}\right)+{\cos }^2\left(\frac{2\pi }{n}\right)+\cdots +{\cos }^2\left(\frac{n-1}{n}\pi \right)+{\cos }^2\pi ]=$ $\underset{―}{}$

2. $\underset{x\to 0}{lim}(\cos x{)}^{{\cot }^{2}x}=$ $\underset{―}{}$

3.曲线 $y=\frac{1+x}{1-e^{-x}}$ 的水平渐近线方程为 $\underset{―}{}$, 竖直渐近线方程为 $\underset{―}{}$

4. $\int \frac{\sin x}{{\cos }^{3}x}dx=$ $\underset{―}{}$

5.函数 $f(x)=\ln (1+x^2)$ 在区间 $[-1,2]$ 的最大值是 $\underset{―}{}$, 最小值是 $\underset{―}{}$

(三)

求曲线 $y=2\sqrt{x},y=2x^2$ 所围成的图形的面积以及该图形绕 $y$ 轴旋转形成的旋转体的体积.

(四)

设 $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sin ax}{\sqrt{1-\cos x},}& x<0\\ b& x=0\\ \frac{1}{x}[\ln x-\ln (x^2+x)],& x>0\end{array}$

问 $a,b$ 取何值时, $f(x)$ 在 $(-\pi ,\pi )$ 内连续.

(五)计算 $\int \sqrt{\frac{6-x}{x-3}}dx$

(六)计算 $\int \frac{x}{x^4+2x^2+5}dx$

(七) 若 $y=y(x)$ 是由方程 $\arctan \left(\frac{y}{x}\right)=\ln \sqrt{x^2+y^2}$ 所确定的隐函数, 求 $dy/dx$

(八)计算 $\int (\arctan e^x)\cdot e^{2x}dx$

附加题

函数 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上二阶可导, 且对任意的 $x\in [0,2]$, 有 $|f(x)|\le 1$ 和 $|f^{\prime \prime }(x)|\le 1$, 证明: 对任意 $x\in [0,2],|f^{\prime }(x)|\le 2$ 成立.