SUSTECH2018高数上期末参考答案

作者: WY

1.(判断题)

(1) 错, 不能直接用介值定理, 因为没有连续性假设.

(2) 错, 保号性只能得到 $\underset{x\to 0}{lim}f(x)\ge 1$.有反例, 比如, 对 $x\ne 0,f(x)=$ $1+e^{-\frac{1}{x^2}}$ ；和 $f(0)=2$.注意这里 $f$ 没有连续性假设.

(3) 错, 夹逼定理相关内容.有反例.比如, 当 $x\to \mathrm{\infty }$ 时,

$$h(x)=f(x)=g(x)=\sin x$$

2.(黎曼和与积分的关系)

首先, 这道题的目标是找到合适的定积分, 形式为:

$${\int }_a^{b}f(x)dx$$

因此, 需要确定两个关键要素: (1) 积分区间 $[a,b]$ ；(2) 被积函数 $f(x)$.选点细节请自行考虑.

为了这个目的, 把题中求和项改写成:

$$\frac{1}{n}(\sqrt{\frac{1}{2n}}+\sqrt{\frac{3}{2n}}+\cdots +\sqrt{\frac{2n-1}{2n}})$$

从上式能够确认积分区间是 $[0,1]$, 同时被积函数为 $f(x)=\sqrt{x}$.选点细节请自行考虑.可参考quiz 2 的第 7 题.

3.(选择题)

(1) D, 奇函数积分性质及积分的保号性.注意: (1) 连续奇函数在对称区间上的积分为 0 ；( 2 ) 正的连续函数的积分为正.从这两条出发, 我们可以很快得到: $a=0,b>0$, 和 $c<0$.因此选D.

(2) B, 零点问题, 简单作图, 把方程写成 ${\int }_a^{x}f(t)dt={\int }_x^{b}f(t)dt$, 考虑两条严格单调连续曲线的交点问题.

(3) B, 反常积分, 极限(比较) 判别法, 重要的反常积分.请参考quiz4选择题第 2 题.

4.(单调性的研究, 微积分基本定理)

2019年的第11题类似, 单调性算一阶导数.根据微积分基本定理,

$$f^{\prime }(x)=2x{\int }_1^{x^2}{e}^{-t^2}dt$$

从上式可得到, $f^{\prime }(x)$ 在 $(-\mathrm{\infty },-1)$ 取负值, 在 $(-1,0)$ 取正值, 在 $(0,1)$ 取负值, 在 $(1,\mathrm{\infty })$ 取正值, 因此得到相应的单调区间.

这里有两个注意要点.1) 注意到积分里面 $t$ 是变量, 因此可以先把被积函数中的 $x^2$ 部分放到积分符号外面, 这样求导的时候就不容易错误.比如, 先改写

$$f(x)=x^2{\int }_1^{x^2}{e}^{-t^2}dt-{\int }_1^{x^2}t{e}^{-t^2}dt$$

2. 变限积分求导时请注意使用链式法则, 可参考第 8 次补充作业第 8 题.

5.(参数的计算, 极限的计算)

首先, 注意到 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin (bx)}{x}=b$, 因此,

$$b=-\underset{x\to 0}{lim}(\frac{\tan (2x)}{x^3}+\frac{a}{x^2})$$

这告诉我们, 右边的极限存在.注意到 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan (2x)}{x}=2$.我们可把右边极限部分改写成:

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{\tan (2x)}{x}+a}{x^2}$$

这个我们常见的分子分母型极限计算问题.由于分母极限等于 0, 因此分子极限必须等于 0.这样我们得到 $2+a=0$ 或者 $a=-2$.接下来, 我们计算 $b$ 的取值,

$$b=-\underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan (2x)-2x}{x^3}$$

可以使用洛必达法则, 和三角函数恒等式

$${\sec }^2(2x)-1={\tan }^2(2x)$$

6.(极限的计算)

第一题, 这个分子分母型极限的计算.注意到分母的极限不等于 0, 因此可以根据连续函数性质直接带入 $x=1$.

第二题, 重要考点: 指数, 对数函数的性质, 洛必达法则的应用.参考quiz3的第3题.

7.(分段函数导数的计算, 连续性的判断)

第一问, 需要分 $x\ne 0$ 和 $x=0$ 两种情况讨论.当 $x\ne 0$ 时, 运用链式法则求导.等 $x=0$ 时, 根据导数定义, 算极限得到导数.

第二问的回答是不连续, 因为第一问中 $x\ne 0$ 时计算的导数在 0 点的极限不存在.回忆重要的极限不存在的例子.

类似的题型, 请参考quiz1的第7题, 2019年的第3题.

8.(导数的计算)

第一题, 可参考quiz3中的第2题, 一般形式时, 记得根据以下恒等式计算通过链式法则计算导数:

$$u(x{)}^{v(x)}=e^{v(x)\ln u(x)}$$

第二题, 求导法则, 链式法则.运用化简思维, 先改写成以下形式会方便一些:

$$\frac{(x+2)(x-1)}{(x-2)(x+3)}=1+\frac{4}{(x-2)(x+3)}=1+\frac{4}{5(x-2)}-\frac{4}{5(x+3)}$$

9.(牛顿法的应用, 交点问题, 零点问题)

首先, 把交点问题改写成零点问题:

$$x(1-x)=2x-1$$

等价于

$$f(x)=x^2+x-1=0$$

回顾牛顿法, 见下面.具体计算省略.

Newton＇s Method

• 1.Guess a first approximation to a solution of the equation $f(x)=0$ .A graph of $y=f(x)$ may help
• 2.Use the first approximation to get a second, the second to get a third, and so on, using the formula

$$x_{n+1}=x_n-\frac{f\left(x_n\right)}{f^{\prime }\left(x_n\right)},\text{ if }{f}^{\prime }\left(x_n\right)\ne 0$$

10.(极值点, 拐点的计算, 函数简略图)

极值点算一阶导数, 拐点常算二阶导数判断一阶导数的单调性, 函数简略图可参考期中考试, 几次补充作业.

11.(弧长的计算)

回忆弧长积分公式:

$$L={\int }_a^b\sqrt{1+{\left(y^{\prime }\right)}^2}dx$$

*此处原图请看pdf版本*

FIGURE 4.42 The geometry of the successive steps of Newton＇s method. From $x_{n}$ we go up to the curve and follow the tangent line down to find $x_{n+1}$

如果忘记了, 记得用积分思想回忆下它的推导过程:

$$L={\int }_a^b\sqrt{(dx{)}^2+(dy{)}^2}={\int }_a^b\sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}dx$$

类似的题目, 请参考quiz3的第5题和补充作业.

12.(旋转体的体积计算, 积分的简单应用)

根据旋转体的体积积分公式,

$$V={\int }_{-\frac{\sqrt{3}}{3}}^{\sqrt{3}}\pi y^{2}dx={\int }_{-\frac{\sqrt{3}}{3}}^{\sqrt{3}}\pi \frac{1}{1+x^2}dx$$

注意: 不记得公式时, 不要慌, 回忆推导过程, 积分思想, 不难得到.

类似题目, 可参考补充作业.

13.(反常积分, 比较(极限) 判别法, 重要反常积分)

回忆重要反常积分结果: 下面的反常积分在 $p>1$ 时收敛, 在 $p\le 1$ 时发散:

$${\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^p}dx$$

(简单通过不定积分和定积分的计算即可得到.)

*此处原图请看pdf版本*

FIGURE 4.41 Newton＇s method starts with an initial guess $x_{0}$ and(under favorable circumstances) improves the guess one step at a time

注意到,

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{ax}{x^2+1}}{\frac{1}{x}}=a$$

因此, $a=\frac{1}{2}$.否则,

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{ax}{x^2+1}-\frac{1}{2x}}{\frac{1}{x}}=a-\frac{1}{2}\ne 0$$

由反常积分的极限判别法, 可得 ${\int }_1^{\mathrm{\infty }}(\frac{ax}{x^2+1}-\frac{1}{2x})dx$ 发散.

最后, 当 $a=\frac{1}{2}$ 时, 计算

$$\begin{array}{rl}{\int }_1^{\mathrm{\infty }}(\frac{x}{2(x^2+1)}-\frac{1}{2x})dx& =-\frac{1}{2}{\int }_1^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{x}-\frac{x}{x^2+1})dx\\ & =-\frac{1}{2}\underset{r\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_1^r(\frac{1}{x}-\frac{x}{x^2+1})dx\\ & =-{\frac{1}{2}\underset{r\to \mathrm{\infty }}{lim}\ln \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}|}_1^r\\ & =-\frac{1}{2}\ln \sqrt{2}=-\frac{1}{4}\ln 2\end{array}$$

注意: 1) 反常积分的定义, 两大类；2) 重要的反常积分的收敛性；3) 比较判别法, 极限判别法；4) 反常积分的计算.

14.(计算积分)

(1) 换元法: $t=\sqrt{u-2}$.回忆常见无理(根式) 函数的不定积分求法, 可参考习题课12课件.

• 1, 形如 $\int R(x,\sqrt[n]{ax+b})dx$ 或: $\int R(x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}})dx$, 可作变换: $\sqrt[n]{ax+b}=t$ 或: $\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}=t$ ；

(2) 不定积分的分部积分法.注意

$${\tan }^{2}x={\sec }^{2}x-1$$

和

$$d\tan x={\sec }^{2}xdx$$

还有

$$\int \tan xdx=\int \frac{\sin x}{\cos x}dx=-\ln |\cos x|+C$$

请参考第8次补充作业的第5题, 熟悉其他8类基本的三角函数的不定积分.

(3) 含根式函数的不定积分求法＋积分小技巧.可参考quiz4第5题.

注意到

$$\frac{1}{x\sqrt{x^4-1}}dx=\frac{x^3}{x^4\sqrt{x^4-1}}dx=\frac{1}{4}\frac{d{x}^4}{x^4\sqrt{x^4-1}}$$

从这里出发, 我们最后换元 $u=\sqrt{x^4-1}$, 可得

$$\frac{1}{4}\frac{d{x}^4}{x^4\sqrt{x^4-1}}=\frac{1}{4}\frac{d(u^2+1)}{(u^2+1)u}=\frac{1}{2}\cdot \frac{du}{u^2+1}$$

这是熟悉的积分形式.最后注意这里计算的是定积分, 需要把积分上下界做相应的调整.

(4) 不定积分的分部积分法, 常用三角函数恒等式.可参考第 6 次补充作业的第 5 题.需要注意的是: 碰到 $\sin x,\cos x$ 的幂次形式, 常可应用下面的三角函数恒等式进行化简:

$${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$$

比如, 这里我们可以改写积分:

$$\begin{array}{rl}\int x{\cos }^{3}xdx& =\int x(1-{\sin }^{2}x)\cos xdx\\ & =\int x\cos xdx-\int x{\sin }^{2}x\cos xdx\\ & =\int xd\sin x-\int xd\frac{{\sin }^{3}x}{3}\\ & =x\sin x-\int \sin xdx-\frac{1}{3}x{\sin }^{3}x+\frac{1}{3}\int {\sin }^{3}xdx\\ & =x\sin x+\cos x-\frac{1}{3}x{\sin }^{3}x+\frac{1}{3}\int (1-{\cos }^{2}x)\sin xdx\\ & =x\sin x+\cos x-\frac{1}{3}x{\sin }^{3}x+\frac{1}{3}(-\cos x+\frac{1}{3}{\cos }^{3}x)+C\\ & =x\sin x+\frac{2}{3}\cos x+\frac{1}{9}{\cos }^{3}x-\frac{1}{3}x{\sin }^{3}x+C\end{array}$$

注意:

• 含根式函数的不定积分求法, 相应的换元
• $\tan x$ 和 $\sec x$ 的配对关系, 导数关系, 恒等式关系
• 基本的三角函数的不定积分
• 分子分母同时乘于某个函数的配方法
• 不定积分和定积分的分部积分法
• 涉及 $\ln$ 积分结果时, 不要忘了加绝对值符号
• 不定积分时, 不要忘了 $+C$.

15.(换元法的简单应用)

根据题意, 因为 ${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}f(2x)dx$ 是一个常数, 计算

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(x)dx& ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}x\sin xdx+\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}f(2x)dx\\ & ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}x\sin xdx+\frac{\pi }{4}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(u)du\end{array}$$

因为

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(x)dx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(u)du$$

我们得到:

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(x)dx=\frac{1}{1-\frac{\pi }{4}}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}x\sin xdx=\cdots$$

这里, 最后需要再次用到定积分的分部积分法, 可参考第 6 次补充作业的第 5 题.

注意: 1) 根据题意计算相应的积分；2) 合理应用换元法, 分部积分法.

Here is why multiplying by $v(x)$ works:

$$\begin{array}{rlrl}\frac{dy}{dx}+P(x)y& =Q(x)& & \begin{array}{c}\text{ Original equation is }\\ \text{ in standard form. }\end{array}\\ v(x)\frac{dy}{dx}+P(x)v(x)y& =v(x)Q(x)& & \text{ Multiply by positive }v(x)\\ \frac{d}{dx}(v(x)\cdot y)& =v(x)Q(x)& & v(x)\text{ is chosen to make }\\ & \frac{dy}{dx}+Pvy=\frac{d}{dx}(v\cdot y)\\ v(x)\cdot y& =\int v(x)Q(x)dx& & \begin{array}{c}\text{ Integrate with respect }\\ \text{ to }x\end{array}\\ y& =\frac{1}{v(x)}\int v(x)Q(x)dx& & \end{array}$$

16.(一阶线性微分方程的解法)

回忆解一般一阶线性微分方程的积分因子方法:

这里,

$$v(x)=e^{\int P(x)dx}$$

因此,

$$y=e^{-\int P(x)dx}\int e^{\int P(x)dx}\cdot Q(x)dx$$

注意: 上述积分因子方法里, 我们只需找到一个满足上述性质的 $v(x)$ 即可.因此, $v(x)$ 中的积分计算可以不带 $+C$

回到原题, 容易得到 $P(x)=2-x$ 和 $Q(x)=3(x-2)$.因此, 我们可以取

$$v(x)=e^{\int P(x)dx}=e^{\int (2-x)dx}=e^{-\frac{1}{2}(x-2{)}^2}$$

这样,

$$\begin{array}{rl}y& =e^{\frac{1}{2}(x-2{)}^2}\int e^{-\frac{1}{2}(x-2{)}^2}\cdot 3(x-2)dx\\ & =3e^{\frac{1}{2}(x-2{)}^2}\int e^{-\frac{1}{2}(x-2{)}^2}d[\frac{1}{2}(x-2{)}^2]\\ & =3e^{\frac{1}{2}(x-2{)}^2}[-e^{-\frac{1}{2}(x-2{)}^2}+C]\\ & =-3+C{e}^{\frac{1}{2}(x-2{)}^2}\end{array}$$

这里, $C$ 可以是任意常数.

特殊做法: 根据一阶线性微分方程的性质, 它的通解可以写成特解加上相应齐次线性微分方程的通解, 即下面方程的通解:

$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=0$$

由于这个方程是可分离变量方程, 它的通解可通过以下改写的方程积分得到:

$$\frac{dy}{y}+P(x)dx=0$$

对原题中的方程, 如果能观察到 $y=-3$ 是一个特解, 那么就只需解下面方程:

$$\frac{dy}{y}+(2-x)dx=0$$

积分得到其通解为:

$$y=C{e}^{\frac{1}{2}(x-2{)}^2}$$

17.(伯努利微分方程——类具有已知精确解的非线性微分方程)

根据题目提示, 先作变换 $u=y^{1-n}$ 把伯努利微分方程变成一阶线性微分方程.

这里 $n=3$, 令 $u=y^{-2}$, 简单计算可得:

$$u^{\prime }-\frac{4}{x}u=-\frac{2}{x^2}$$

根据方程形式, 猜测 $u=\frac{a}{x}$ 会是特解, 带入方程可得:

$$-\frac{5a}{x^2}=-\frac{2}{x^2}$$

这样, 得到 $a=\frac{2}{5}$.因此, $u=\frac{2}{5x}$ 是特解.接下来, 求解

$$u^{\prime }-\frac{4}{x}u=0$$

简单的积分可得, 该方程的通解为 $u=C{x}^4$.因此, 原方程的通解为:

$$u(x)=\frac{2}{5x}+C{x}^4$$

这样, 我们得到:

$$y=\pm \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{5x}+C{x}^4}}$$

注意: 如果有提示, 应尽快根据提示作答因为提示的方法是可行的.如果还有兴趣, 之后再想其他办法.

18.(根据未知函数的性质建立未知函数的微分方程, 最终求解未知函数)

解答该题的关键是根据导数的定义建立未知函数的微分方程.可参考quiz2的第 8 题.

为了建立未知函数的微分方程, 我们需要根据导数的定义,

$$\begin{array}{rl}\frac{df}{dx}=f^{\prime }(x)& =\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x)\cdot f(h)-f(x)}{h}\\ & =f(x)\cdot \underset{h\to 0}{lim}\frac{f(h)-f(0)}{h}\\ & =f(x)\cdot f^{\prime }(0)\end{array}$$

实际上, 我们之后可以根据这个微分方程求出未知函数的通解形式.类似的题型, 可参考2019年的第12题.