2023秋高数上期末试题(回忆版)

一 单项选择题

1-1

若 $f^{\prime }(1)=2$, 则 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(1-x)-f(1+x)}{x}=$

(A) 2

(B) -2

(C) 4

(D) -4

1-2

若函数 $f(x)=\ln x-\frac{x}{e}+C$, 这里 $c>0$, 则方程 $f(x)=0$ 的实根的数目是

(A) 3

(B) 2

(C) 1

(D) 0

1-3

曲线 $e^{x-y}+x(x+2y)=x+\sin x+1$ 在点 $(0,0)$ 处的切线方程是

(A) $x+y=0$

(B) $x-y=0$

(C) $x+2y=0$

(D) $x-2y=0$

1-4

若反常积分 ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{{\tan }^{-1}x}{x^{k+\frac{1}{2}}(1+x^{k-\frac{1}{2}})}dx$ 收敛, 则常数 $k$ 必满足

(A) $\frac{1}{2}<k<\frac{3}{2}$

(B) $k>\frac{1}{2}$

(C) $k<\frac{1}{2}$

(D) $1<k<\frac{3}{2}$

1-5

函数 $f(x)$ 满足 $x{f}^{\prime \prime }(x)+3x(f^{\prime }(x){)}^2=e^{-x}-1,\mathrm{\forall }x\in (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$, 且有 $f^{\prime }(x_0)=0(x_0\ne 0)$ .下列叙述中哪一个一定是正确

(A) $f$ 在 $x_0$ 处取到局部极大值.

(B) $f$ 在 $x_0$ 处取到局部极小值.

(C) $(x_0,f(x_0))$ 是一个拐点

(D) 上述的(A), (B)和(C)都不对.

二 , 填空题

2-1

设区域 $D$ 是由如下曲线和直线 $y=x^2,y=0,x=2$

所围成的区域.则把区域 $D$ 绕 $x$-轴旋转所得到的旋转体的体积为 $\underset{―}{}$

2-2

若 $f(t)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}t(1+\frac{1}{x}{)}^{3tx}$, 则 $f^{\prime }(1)=$ $\underset{―}{}$

2-3

若一条通过原点的直线与曲线 $y=a^x(a\ne 1)$ 相切, 则该直线的斜率是 $\underset{―}{}$

2-4

${\int }_0^a{x}^2\sqrt{a^2-x^2}dx=$ $\underset{―}{}$

2-5

若 $f(x)={\int }_{\frac{\pi }{2}}^x{e}^{\sin t}dt$ .则 $(f^{-1}{)}^{\prime }(0)=\underset{―}{}$

三

求第一象限内由曲线 $y=\sqrt{x},x$ 轴及直线 $y=x-2$ 所围成的平面区域的面积.

四

考虑函数 $y=\frac{x^2+4}{2x}$

4-1

求 $f$ 在哪些点取局部极值, 并求函数的局部极值.

4-2

求 $f$ 上凹和下凹的开区间.

4-3

画出 $f(x)$ 的简略图.

五

求解一阶线性常微分方程 $\frac{dy}{dx}+xy=x^3,y(0)=-6$

六

求下列极限

6-1

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x-1-x}{x^2}$

6-2

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(x-x^2\ln (1+\frac{1}{x}))$

七

计算积分

7-1

${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2}x{\cos }^{3}xdx$

7-2

${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{\ln x}{x^2}dx$

7-3

$\int \frac{x^2-2x+5}{(x^2+1)(x-1{)}^2}dx$

7-4

${\int }_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}\frac{|x|}{1+\sin x}dx$

八

若函数 $f$ 在 $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ 上连续, 且满足 $f(x)({\int }_0^{x}f(t)dt+1)={\tan }^{-1}x$ .求 $f(x)$