MA117 2021秋 期中

2021秋高数上期中试题(回忆版)

一

单项选择题:

1-1

方程 $x^3-12x+19=0$ 的实根的个数为

(A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) 3

1-2

函数 $f(x),g(x)$ 为恒正可微函数, 且满足 $f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)<0,\mathrm{\forall }x\in [a,b]$ .则当 $a<x<b$ 时, 必有

(A) $f(x)g(b)>f(b)g(x)$

(B) $f(x)g(a)>f(a)g(x)$

(C) $f(x)g(x)>f(b)g(b)$

(D) $f(x)g(x)>f(a)g(a)$

1-3

函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续, 且满足 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)}{x}=2$ .则

(A) $f(0)=1$, 且 $f^{\prime }(0)=2$

(B) $f(0)=0$, 且 $f^{\prime }(0)=0$

(C) $f(0)=0$, 且 $f^{\prime }(0)=2$

(D) 前面 3 个选项都不对.

1-4

设函数 $f(x)$ 可导, $\alpha =f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)-f^{\prime }(x)\mathrm{\Delta }x$, 则

(A) $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\alpha }{\mathrm{\Delta }x}=0$

(B) $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\alpha }{\mathrm{\Delta }x}=1$

(C) $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\alpha }{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}=1$

(D) $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }x}{\alpha }=0$

1-5

若函数 $f(x)=|x|g(x)$ 在 $x=0$ 处可导, 则必有

(A) $\underset{x\to 0^{+}}{lim}g(x)=\underset{x\to 0^{-}}{lim}g(x)$

(B) $\underset{x\to 0}{lim}{g}^{\prime }(x)=g^{\prime }(0)$

(C) $\underset{x\to 0^{+}}{lim}g(x)=-\underset{x\to 0^{-}}{lim}g(x)$

(D) $\underset{x\to 0}{lim}{g}^{\prime }(x)=g(0)$

二

填空题:

2-1

若曲线 $y=x^3+g{x}^2+bx+1$ 有拐点 $(-1,0)$, 则 $b=$ $\underset{―}{}$

2-2

设 $f(x)=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n)$, 则 $f^{\prime }(0)=$ $\underset{―}{}$

2-3

若 $f(x)=\sqrt{x\sqrt{\sin x}}$, 则 $f^{\prime }(x)=$ $\underset{―}{}$

2-4

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1^5}{n^6}+\frac{2^5}{n^6}+\frac{3^5}{n^6}+\cdots +\frac{(n-1{)}^5}{n^6})=$ $\underset{―}{}$

2-5

曲线 $f(x)=x+x\sin \frac{1}{x}$ 的(所有)渐近线为 $\underset{―}{}$

三

两个点 $P(a,0)$ 和 $Q(0,b)$ 与原点 $O(0,0)$ 组成一个三角形, 若线段 $PQ$ 的长度为 20, 则 $\mathrm{△}OPQ$ 的最大面积为多少? 此时 $a$ 和 $b$ 的值分别是多少?

四

已知曲线方程为 $y^3+y=2\cos x$, 求 ${\frac{dy}{dx}|}_{x=0}$ 和 ${\frac{d^{2}y}{d{x}^2}|}_{x=0}$

五

已知区域 $R$ 由 $x$ 轴, 直线 $x=\frac{\pi }{4}$, 和曲线 $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{{\tan }^{2}x}{x},& 0<x\le \frac{\pi }{4}\\ 0,& x=0\end{array}$ 所围成, 把区域 $R$ 绕 $y$ 轴旋转, 求此旋转体的体积.

六

计算下列积分:

6-1

${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{\cos x-{\cos }^{3}x}dx$

6-2

${\int }_{\frac{3}{2}}^4\frac{x+1}{\sqrt{2x+1}}dx$

七

求极限. (不准使用洛必达法则):

7-1

$\underset{x\to 1}{lim}\frac{(1-\sqrt{x})(1-3\sqrt{x})}{(1-x^2{)}^2}$

7-2

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan x-\sin x}{\sin (x^3)}$

八

求曲线 $y=1+x+{\int }_0^x\cos ((x-t{)}^2)dt$ 在点 $(0,1)$ 处的切线方程.

九

求函数 $f(x)=|\sin x+\cos x+\tan x+\cot x+\sec x+\csc x|$ 的全局极小值(即最小值)