MA117 2019秋 期中 答案

2019秋高数上期中试题答案

一

1-1

TRUE

1-2

FALSE

1-3

TRUE

1-4

TRUE

1-5

FALSE

反例：$f(x)=1$ 可视为周期为1的周期函数，但 $g(x)=x$ 不是周期函数，尽管 $f(x)$ 和 $g(x)$ 满足题目条件。

二

2-1

D

2-2

B

2-3

C

2-4

D

注意：选项B是常见错误答案。

2-5

B

三

3-1

导数非负且没有变号的零点，所以局部极大值和局部极小值不存在。拐点：$x=0$

3-2

水平渐近线：不存在；垂直渐近线：不存在；斜渐近线：$y=x$

3-3

（图形略）

四

4-1

$\frac{5}{4}+\sin 5$

4-2

$\frac{\pi }{4}$

五

5-1

$\frac{1}{6}{a}^4+\frac{1}{2}$

5-2

$\frac{4\sqrt{2}}{3}$

六

写出显式函数分别为 $r_1(x)$（$y$ 从 $\frac{2}{3}$ 到 $1$）和 $r_2$（$y$ 从 $0$ 到 $\frac{2}{3}$）在 $[0,\frac{16}{9}]$ 上。

显然，体积为：

$${\int }_0^{\frac{16}{9}}(\pi (2-r_1(x){)}^2)dx-{\int }_0^{\frac{16}{9}}(\pi (2-r_2(x){)}^2)dx$$

注意：此类题不考，无需担心。

七

$f(\frac{11\pi }{60})=\frac{\pi }{45}+\frac{\sqrt{3}}{3}$

八

面积为：

$${\int }_0^2(3-x-\frac{1}{4}{x}^2)dx-{\int }_0^1(3-x-(\sqrt{x}+1))dx=\frac{5}{2}$$

九

在 $\mathbb{R}$ 上所有临界点为：$x=0$ 或 $x=\pm (\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}{)}^{\frac{1}{4}}$，其中 $k=0,1,2,\dots$

在区间 $[-1,1]$ 内：$x=0$ 或 $x=\pm (\frac{\pi }{4}{)}^{\frac{1}{4}}$

十

构造 $\varphi (x)=f(x)-\alpha x-\beta$，令 $\alpha =\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$，由罗尔定理可得证明。