2020 Spr.高代下 midterm

第1题.简答题.每道题只需直接写出答案, 不需要给出理由.

1.设 $N\in M_5(K)$ 是幂零阶为了的幂零矩阵, 写出 $N$ 的最小多项式.(如有多种可能, 请写出所有可能的答

2, 写出大小相同的两个幂零矩阵 $A$, $B$ 使得 $A+B$ 不是幂零矩阵.

3.设 $\dim V=6,N\in End(V)$ 是循环的葛零交换.求 0 作为 $N$ 的特征值的几何重数.

4.考虑实问量空间 $V=R[X]⩽2$ 上的双线性型

$$\phi :(f,g)⟼\sum _{i=0}^{{\omega }^2}{f}^{\prime }(i)g(i)$$

写出 $\phi$ 在有序基 $B=(1,X,X^2)$ 下的 Gram 矩阵.( $f^{\prime }$ 表示对 $f$ 求导得到的多项式.)

5.设 $V$ 是 $n$ 维空间向量, Sym(V)表示V上的对称双线性型构成的向量空间.求dim Sym(V)

第2题.判断对错, (不需要解释理由).

1.设 $V$ 是有限维复问量空间, $A\in End(V)$ .则对于任意 $c\in C,A$ 的广义特征尔空间也是 $A+cI$ 的广义特征子空间.

2, 令 $V=K[X]⩽n$.则线性变换

$$A:V\to V;P(X)⟼P^{\prime \prime }(X)X$$

是冥零交换.( $P^{\prime \prime }$ 表示多项式 $P$ 的二阶导数.)

3.考虑含有参数 $a\in C$ 的复矩阵 $A=\left(\begin{array}{ll}1& a\\ 0& 2\end{array}\right)$ .则 $A($ 在 $C\mathrm{上})$ 可对角化当且仅当 $a=0$

4.设 $A,B\in M_3(C)$ 具有相同的特征多项式和最小多项式, 则 $A,B$ 在 $C$ 上相似.

5.设 $V$ 是 $n$ 维复向量空间, 其中 $n⩾2$.设 $d\in End(V)$.如果 $\ker \left({\mathbb{d}}^{n-1}\right)=\ker \left({\mathbb{d}}^n\right)$, 则 $\mathbb{d}$一定是可对角化. 6.设 $N\in \mathrm{Mn}(C)$ 是幂零矩阵, 则与 $N$ 相似的矩阵也都是幂零矩阵.

第3题.令 $A=\left(\begin{array}{ccc}4& 6& 0\\ -3& -5& 0\\ -3& -6& -2\end{array}\right)$ 试求 $A$ 的 Jordan 标准形并给出一个可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP=J$

第4题.假设 $A\in M_5(C)$ 在 $C$ 中仅有的特征值是 0 和 1, 并且 $A$ 的最小多项式次数是3.

写出 $A$ 的 Jordan标准形所有可能的形式.

(若某些形式只有 Jordan 块排序不同, 可以只写其中的一个).

第5题.设 $V$ 是有维复向量空间, $d,G\in End(v)$ 是两个可交换的线性变换, 设 C 是 $d$ 的一个仪特征空间.

1.证明: W是 $B_8$ 的不变子空间.

2.是否 $W$ 一定是 ${\mathcal{S}}^2$ 的广义特征子空间? 若是, 请解释理由.若否, 请给出反例,

第 6 题.设 $J=J_n(1)$ 为特征是 1 的 $n$ 阶 Jordan 块, 其中 $n⩾2$.

1.对每个 $K\in N^{\ast }$, 计算 $J^k$.

2.证明: 对于每个 $K\in N^{\ast }$, $J^k$ 都与丁相似.

3.假设 $n=3$.写出一个可道矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}JP=J^{\mathrm{\top }}$.

第 7 题.设 $N\in M_n(K)$ 为莫零矩阵, $f\in K[X],A=f(N)$

证明: $A$ 是幂零矩阵当且仅当多项式 $f$ 的常数项为 0 .第8题: 对每个 $A\in M_n(C)$, 定义 $C_A=\{B\in M_n(C)\mid AB=BA\}$

1.证明 $C_A$ 是 $M_n(C)$ 的线性子空间.

2.假设 $A$ 的最小多项式次数为 $m$.证明 $\dim C_A>m$.

3.假设矩阵 $A^{\prime }\in M_n(C)$ 和 $A$ 相似.证明: 存在一个可逆的线性变换 $T:M_n(C)\to M_n(C)$ 满足 $T\left(C_A\right)=C_A$

4.假设 $A$ 是 Jordan 块.求出 $\dim C_A$.

5.对一般情况, 证明 $\dim C_A⩾n$

(本题中, 允许承认前面小题的结果来用于后续问题的解答.)