2022 Spr.高代下 midterm

1.判断题.(对于下面每个论断, 说明其正确与否, 对的打勾人, 错的打叉义, 不需要解释理由).

(A) 市等交换(即满足 $Q^2=\varnothing$ 的线性交换)总可对角化.

(B) 两个3阶幂零矩阵相似当且仅当它们的最小多项式相同.

(C) 景零变换是循环的当且仅当其Jordan标准形只包含一个Jordan块.

(D) 两个n阶方阵合同当且仅当它们的秩相同.

2.简答题, (直接写出答案, 不需解释理由).

(A) 设 $N$ 为 5 阶冥零矩阵, 其中 $\mathrm{rank}(N)=3$, $\mathrm{rank}\left(N^2\right)=1$, 写出 $N$ 的一个Jordan 标准形).

(B) 设 $A=\left(a_{ij}\right)\in M_n(K)$ 为 $n$ 阶方阵, 其中 $a_{ij}=\{\begin{array}{l}0,\text{ 若 }i=j\text{. }\\ 1,\text{ 若 }i\ne j\end{array}$ 求 $A$ 的最小多项式.

(C) 求二次型 $q(x_1,x_2,x_3,\cdots ,x_n)=n\left(\sum _{i=1}^n{x}_i^2\right)-{\left(\sum _{i=1}^n{x}_i\right)}^2$ 的釉(也即其 $\mathrm{aram}$ 矩阵的釉)

(D) 数列 $\left\{x_n\right\}n⩾1$ 满足 $x_{n+3}=3x_{n+2}-3x_{n+1}+x_n$, 其中 $x_1=0,x_2=1,x_3=4$, 求数列 $\left\{x_n\right\}n>1$ 的通项公式.

3.求下面矩阵 $A$ 的 Jordan标准形(不用计算转移矩阵):

$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ -4& 4& 0\\ -2& 1& 2\end{array}\right)$$

4.证明: 任 $-n$ 阶复数域上的可道矩阵 $A$ 都存在平方根, 也即存在 $n$ 阶矩阵 $B$ 使得 $A=B^2$.

5.设 V是 $n$ 维 $k$一向量空间, f是V上的一个非退化双线性函数.证明:

(1) 任给V上的双线性函数 $\phi$, 存在 $V$ 上唯一的一个线性变换 $A_{\phi }$, 使得

$$\phi (u,v)=f(d_{\phi }(u),v),\mathrm{\forall }u,v\in V_{;}$$

(2) 令 $\sigma =\phi ⟼d_{\phi }$, 则 $\sigma$ 是线性空间 $\mathrm{Bil}(V)$ 到 Homk $(V,V)$ 的同构映射

6.设 $\mathcal{N}$ 为n维同量空间 $V$ 上的冥零交换, 且 $N$ 在基 $v_1,v_2,\cdots ,v_n$ 下的矩阵为一Jordan 块, 证明:

(1) 包合 $U_n$ 的 $\mathcal{N}$ 不变子空间就是 $V$ 本身；

(2) 任一非零 $\mathcal{N}$ 不变子空间都包含 $V_1$ ；

(3) V不能分解成两个非零 $\mathcal{N}$ 不变子空间的直和；

(4) 子空间

$$V_i=\mathrm{span}(V_1,\cdots ,V_i),i=1,2,\cdots ,n$$

且仅这些子空间为 $N^{\prime }$ 不变子空间.