2022 Spr.高代下 midterm

一

(对于下面每个论断, 说明其正确与否, 对的打勾✓, 错的打叉✗, 不需要解释理由).

1-A

幂等变换(即满足 $Q^2=Q$ 的线性变换)总可对角化.

1-B

两个3阶幂零矩阵相似当且仅当它们的最小多项式相同.

1-C

幂零变换是循环的当且仅当其Jordan标准形只包含一个Jordan块.

1-D

两个n阶方阵合同当且仅当它们的秩相同.

二

简答题, (直接写出答案, 不需解释理由).

2-A

设 $N$ 为 5 阶幂零矩阵, 其中 $\mathrm{rank}(N)=3$, $\mathrm{rank}(N^2)=1$, 写出 $N$ 的一个Jordan 标准形).

2-B

设 $A=(a_{ij})\in M_n(K)$ 为 $n$ 阶方阵, 其中 $a_{ij}=\{\begin{array}{l}0,\text{ 若 }i=j\text{. }\\ 1,\text{ 若 }i\ne j\end{array}$ 求 $A$ 的最小多项式.

2-C

求二次型 $q(x_1,x_2,x_3,\cdots ,x_n)=n(\sum _{i=1}^n{x}_i^2)-(\sum _{i=1}^n{x}_i{)}^2$ 的秩(也即其 Gram 矩阵的秩)

2-D

数列 $\{x_n\}n\ge 1$ 满足 $x_{n+3}=3x_{n+2}-3x_{n+1}+x_n$, 其中 $x_1=0,x_2=1,x_3=4$, 求数列 $\{x_n\}n>1$ 的通项公式.

三

求下面矩阵 $A$ 的 Jordan标准形(不用计算转移矩阵):

$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ -4& 4& 0\\ -2& 1& 2\end{array}\right)$$

四

证明: 任意 $n$ 阶复数域上的可逆矩阵 $A$ 都存在平方根, 也即存在 $n$ 阶矩阵 $B$ 使得 $A=B^2$.

五

设 V是 $n$ 维 $k$-向量空间, f是V上的一个非退化双线性函数.证明:

5-1

任给V上的双线性函数 $\phi$, 存在 $V$ 上唯一的一个线性变换 $A_{\phi }$, 使得

$$\phi (u,v)=f(d_{\phi }(u),v),\mathrm{\forall }u,v\in V_{;}$$

5-2

令 $\sigma =\phi ⟼A_{\phi }$, 则 $\sigma$ 是线性空间 $\mathrm{Bil}(V)$ 到 Homk $(V,V)$ 的同构映射

六

设 $\mathcal{N}$ 为n维向量空间 $V$ 上的幂零变换, 且 $N$ 在基 $v_1,v_2,\cdots ,v_n$ 下的矩阵为一Jordan 块, 证明:

6-1

包含 $v_n$ 的 $\mathcal{N}$ 不变子空间就是 $V$ 本身；

6-2

任一非零 $\mathcal{N}$ 不变子空间都包含 $v_1$ ；

6-3

$V$不能分解成两个非零 $\mathcal{N}$ 不变子空间的直和；

6-4

子空间

$$V_i=\mathrm{span}(v_1,\cdots ,v_i),i=1,2,\cdots ,n$$

且仅这些子空间为 $\mathcal{N}$ 不变子空间.