2020春 高代下 期中

一 简答题

每道题只需直接写出答案, 不需要给出理由.

1-1

设 $N\in M_5(K)$ 是幂零阶为3的幂零矩阵, 写出 $N$ 的最小多项式.

(如有多种可能, 请写出所有可能的答案)

1-2

写出大小相同的两个幂零矩阵 $A$, $B$ 使得 $A+B$ 不是幂零矩阵.

1-3

设 $\dim V=6,N\in \mathrm{End}(V)$ 是循环的幂零变换.求 0 作为 $N$ 的特征值的几何重数.

1-4

考虑实向量空间 $V=R[X]\le 2$ 上的双线性型

$$\phi :(f,g)⟼\sum _{i=0}^2{f}^{\prime }(i)g(i)$$

写出 $\phi$ 在有序基 $B=(1,X,X^2)$ 下的 Gram 矩阵.( $f^{\prime }$ 表示对 $f$ 求导得到的多项式.)

1-5

设 $V$ 是 $n$ 维向量空间, Sym(V)表示V上的对称双线性型构成的向量空间.

求dim Sym(V)

二

判断对错, (不需要解释理由).

2-1

设 $V$ 是有限维复向量空间, $A\in \mathrm{End}(V)$ .则对于任意 $c\in C,A$ 的广义特征子空间也是 $A+cI$ 的广义特征子空间.

2-2

令 $V=K[X]\le n$.则线性变换

$$A:V\to V;P(X)⟼P^{\prime \prime }(X)X$$

是幂零变换.( $P^{\prime \prime }$ 表示多项式 $P$ 的二阶导数.)

2-3

考虑含有参数 $a\in C$ 的复矩阵

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 2\end{array}\right)$$

则 $A($ 在 $C\mathrm{上})$ 可对角化当且仅当 $a=0$

2-4

设 $A,B\in M_3(C)$ 具有相同的特征多项式和最小多项式, 则 $A,B$ 在 $C$ 上相似.

2-5

设 $V$ 是 $n$ 维复向量空间, 其中 $n\ge 2$.设 $d\in \mathrm{End}(V)$.如果 $\ker (A^{n-1})=\ker (d^n)$, 则 $A$一定是可逆变换

2-6

设 $N\in M_n(C)$ 是幂零矩阵, 则与 $N$ 相合的矩阵也都是幂零矩阵.

三

令

$$A=\left(\begin{array}{ccc}4& 6& 0\\ -3& -5& 0\\ -3& -6& -2\end{array}\right)$$

试求 $A$ 的 Jordan 标准形J 并给出一个可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP=J$

四

假设 $A\in M_5(C)$ 在 $C$ 中仅有的特征值是 0 和 1, 并且 $A$ 的最小多项式次数是3.

写出 $A$ 的 Jordan标准形所有可能的形式.

(若某些形式只有 Jordan 块排序不同, 可以只写其中的一个).

五

设 $V$ 是有限维复向量空间, $A,G\in \mathrm{End}(V)$ 是两个可交换的线性变换, 设 W 是 $A$ 的一个广义特征空间.

5-1

证明: W是 $G$ 的不变子空间.

5-2

是否 $W$ 一定是 $G$ 的广义特征子空间? 若是, 请解释理由. 若否, 请给出反例.

六

设 $J=J_n(1)$ 为特征值是 1 的 $n$ 阶 Jordan 块, 其中 $n\ge 2$.

6-1

对每个 $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, 计算 $J^k$.

6-2

证明: 对于每个 $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $J^k$ 都与 $J$ 相似.

6-3

假设 $n=3$.写出一个可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}JP=J^T$.

七

设 $N\in M_n(K)$ 为幂零矩阵, $f\in K[X],A=f(N)$

证明: $A$ 是幂零矩阵当且仅当多项式 $f$ 的常数项为 0.

八

对每个 $A\in M_n(C)$, 定义 $C_A=\{B\in M_n(C)\mid AB=BA\}$

(本题中, 允许承认前面小题的结果来用于后续问题的解答.)

8-1

证明 $C_A$ 是 $M_n(C)$ 的线性子空间.

8-2

假设 $A$ 的最小多项式次数为 $m$.证明 $\dim C_A>m$.

8-3

假设矩阵 $A^{\prime }\in M_n(C)$ 和 $A$ 相似.

证明: 存在一个可逆的线性变换 $T:M_n(C)\to M_n(C)$ 满足 $T(C_A)=C_A$

8-4

假设 $A$ 是 Jordan 块.求出 $\dim C_A$.

8-5

对一般情况, 证明 $\dim C_A\ge n$