2025 秋 高等代数期中考试

**考试科目**: 高等代数
**考试时长**: 120 分钟
**开课单位**: 数学系
**命题教师**: 李才恒
**本试卷共七道大题，满分 100 分**

第 1 题 (20 分)

设 $a,b$ 为参数。给定一个方程组 $AX=B$，其中

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ -1& a& 1\\ 2& b& 1\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right]$$

(i) 讨论参数 $a,b$ 取何值时，该方程组有解。(5 分)

(ii) 在有解的情况下，求出方程组的所有解。(5 分)

(iii) 讨论参数 $a,b$ 取何值时，矩阵 $A$ 可逆。(5 分)

(iv) 在 $A$ 可逆的情况下，求 $A^{-1}$。(5 分)

第 2 题 (15 分)

给定矩阵

$$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 2& 1\\ -2& 1& 1& 2\\ -1& 1& -1& 0\end{array}\right]$$

(i) 分别给出 $A$ 的零空间 $N(A)$、行空间 $R(A)$ 和列空间 $C(A)$ 的一组基。(8 分)

(ii) 证明由矩阵 $A$ 定义的映射

$$A:R(A)\to C(A)$$$$v\mapsto Av$$

是一个从 $R(A)$ 到 $C(A)$ 的线性同构 (这里 $R(A)$ 中的向量视为列向量)。(7 分)

第 3 题 (10 分)

令 $V=M_2(\mathbb{R})$ 为所有实数域上的 $2\times 2$ 矩阵构成的向量空间。设 $A=\left[\begin{array}{cc}1& -3\\ -1& 5\end{array}\right]$，定义线性映射 $T:V\to V,X\mapsto AX$。取定 $V$ 中的一组基 $B=(b_1,b_2,b_3,b_4)$，其中

$$b_1=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right],b_2=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right],b_3=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 0\end{array}\right],b_4=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$

(i) 求 $T$ 在基 $B$ 下的矩阵表示 $T_B$。(7 分)

(ii) 求 $T$ 的核 $\mathrm{Ker}(T)$。(3 分)

第 4 题 (15 分)

令 $A,B$ 为两个大小相同的非零方阵，证明以下结论：

(i) 若 $A,B$ 都可逆，则 $AB$ 和 $BA$ 也可逆。(5 分)

(ii) $\mathrm{rank}(AB)\le \mathrm{rank}(A)$。(5 分)

(iii) $\mathrm{rank}(A+B)\le \mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(B)$。(5 分)

第 5 题 (20 分)

令 $K[X{]}_{\le n}$ 表示次数至多为 $n$ 的多项式构成的向量空间。给定两个向量空间 $V=K[X{]}_{\le 2}$ 和 $W=K[X{]}_{\le 3}$ 及它们的有序基 $B=(1,X,X^2)$，$C=(1,X,X^2,X^3)$。假定 $T$ 是一个如下定义的 $V$ 到 $W$ 的线性变换

$$T:V\to W$$$$f(X)\mapsto (X-1)f(X)$$

(i) 将 $T(1),T(X),T(X^2)$ 用有序基 $C$ 线性表出。(5 分)

(ii) 给出 $T$ 在基 $B,C$ 下的矩阵表示 $M_{B,C}(T)$。(5 分)

(iii) 计算多项式 $f(X)=1+2X+3X^2$ 在 $T$ 下的像。(5 分)

(iv) 另外取 $W$ 的一组有序基 $D=(X^3,X^2,X,1)$，写出 $T$ 在 $B,D$ 下的矩阵表示 $M_{B,D}(T)$。(5 分)

第 6 题 (20 分)

设 $T$ 是 $n$ 维向量空间 $V$ 上的线性变换。证明以下陈述等价：

(i) $T$ 是可逆变换；

(ii) $Tv\ne 0$ 对任意非零向量 $v\in V$；

(iii) 若 $v_1,v_2,\dots ,v_n$ 是 $V$ 的一组基，则 $T{v}_1,T{v}_2,\dots ,T{v}_n$ 也是 $V$ 的一组基；

(iv) 若 $V=U\oplus W$，则 $V=T(U)\oplus T(W)$。