2020 秋 高代上final (回忆版)

一 略

二

A $3\times 5$

2-1

求 $P_{3\times 3},|P|\ne 0$, s.T.$PA=$ (一个上宽下窄, 直角在右上,右下的直角梯形)

2-2

求 $C(A),R(A)$ 的基

2-3

$T:X\to AX$, 证明: $T$ 是 $R(A)\to C(A)$ 的满的线性映射.

三

$M_1,M_2$ 是 $M$ 的子空间

3-1

求证: $M_1\cap M_2,M_1+M_2$ 是 $M$ 的子空间

3-2

$\{{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_r\}$ 是 $M_1\cap M_2$ 的一组基.

$\{{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_r,{\beta }_1,\cdots ,{\beta }_s\}$ 是 $M_1$ 的一组基

$\{{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_r,{\gamma }_1,\cdots ,{\gamma }_t\}$ 是 $M_2$ 的一组基.

求证: $\{{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_r,{\beta }_1,\cdots ,{\beta }_s,{\gamma }_1,\cdots ,{\gamma }_t\}$ 是 $M_1+M_2$ 的一组基

3-3

求证: $\dim M_1+\dim M_2-\dim (M_1\cap M_2)=\dim (M_1+M_2)$

四

A

NOTE

这里没有A具体的值

• 求特征值
• 求特征向量
• 对角化
• 求 $A^{100}$

五

A是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换

5-1

求证: $\mathrm{\exists }k,1\le k\le n,k\in N^{\ast }$, S.T.$\alpha ,A\alpha ,\cdots ,A^{k-1}\alpha$ 线性无关

且 $\mathrm{\exists }$ 不全为 0 的 $a_0,\cdots ,a_{k-1}$ S.T.$A^k\alpha =a_0\alpha +a_{1}A\alpha +\cdots +a_{k-1}{A}^{k-1}\alpha$

5-2

$M=⟨\alpha ,A\alpha ,\cdots ,A^{k-1}\alpha ⟩$

求证: $M$ 是 $A$ 的不变子空间

并求 $A{|}_{\mathrm{m}}$ 的矩阵 $B$.

5-3

求 $|\lambda I-B|$

5-4

$f$ 是 $A$ 的特征多项式

求证: $f(A)=0$

六

含参实二次型

NOTE

这里没有具体值

• 求对应矩阵
• 标准化
• 可以正定吗？

七

7-1

求证: $A$ 反对称 $\iff X^{\prime }AX=0,\mathrm{\forall }X$

7-2

$A$ 对称且 $X^{\prime }AX=0,\mathrm{\forall }X$, 求证: $A=0$

7-3

求证: 任意方阵 $A$ 可分解为对称阵 $B$ 与反对称阵 $C$ 之和.

八

$S,T$ 是 $C^n$ 上的两个线性变换, $\lambda \in C$.

8-1

$ST=TS$ 求证

• (1) $\mathrm{Ker}(S-\lambda I)$ 和 $\mathrm{Im}(S-\lambda I)$ 是 $S$, T的不变子空间.
• (2) $S,T$ 有公共的特征向量
• (3) 存在 $C^n$ 的一组基, $S,T$ 在这组基下的矩阵均为上三角.

8-2

dim Ker $(S-\lambda I)\le 1$

• (1) $\cdots$ 或 $\cdots$
• (2) 同上
• (3) 同上