2021春数学分分析期中(回忆版)

计算

1-(1)

$\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}\frac{e^x+e^y}{\cos x-\sin y}$

1-(2)

$\underset{x\to \mathrm{\infty },y\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{x}{)}^{\frac{x}{x+y}}$

1-(3)

当 $(x,y)\ne (0,0)$ 时, $f(x,y)=x^2\ln (x^2+y^2)$, 并且 $f(0,0)=0$, 求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$

1-(4)

设 $u=\frac{z}{x^2+y^2}$, 求 $du$

二

给出下列极限的定义: $\underset{x\to a,y\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x,y)=A$, 其中 $0<a<+\mathrm{\infty }$, 并用此定义, 证明: $\underset{x\to a,y\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x^5+3x{y}^2}{x+y^2}=3a$

三

求出曲线 $x=y^2-1$ 和 $x-y=11$ 在上半平面围成的图形绕 $x$ 轴旋转一周所得的旋转体体积.

四

求点集E的边界 $\partial E$, 内部 $E^{\circ }$ 和闭包 $\overline{E}$

(1) $E=\{(r\cos \theta ,r\sin \theta );0<r<1,0<\theta <2\pi \}$ ；

(2) $E=\{(x,y);x$ 或 $y$ 为无理数, $|x|<1,|y|<1\}$

五

设 $F$ 为 $R^n$ 中非空闭集, $G$ 为 $R^n$ 中非空开集, 请证明；

(1) $F\mathrm{\setminus }G$ 为 $R^n$ 中闭集；

(2) $G\mathrm{\setminus }F$ 为 $R^n$ 中开集.

六

设 $f(x,y)=\frac{x^3}{x^2+y^2},x^2+y^2>0$, 并且 $f(0,0)=0$

(1) 证明 $f(x,y)\mathrm{于}(0,0)$ 处沿任何方向的方向导数都存在；

(2) $f(x,y)\mathrm{于}(0,0)$ 处是否可微? 证明你的结论

七

设 $f(x,y)=\sin (xy),(x,y)\in R^2$.

(1) 证明: $f(x,y)$ 于区域 $D_a=\{(x,y);x^2+y^2<a\}(0<a<+\mathrm{\infty })$ 上一致连续；

(2) $f(x,y)$ 是否于 $R^2\mathrm{上}$一致连续? 证明你的结论.${}_{\text{.}}$

八

设 $f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ 是 $n$ 维 Euclid空间中点集 $S=\{(x_1,x_2,\cdots ,x_n);x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2=a_n^2\}$ $(0<a<+\mathrm{\infty })$ 上的连续函数, 试证明:

(1) 存在 $S$ 中的两点, 使得 $f$ 于此两点处分别取得最大值 $M$ 和最小值 $m$.

(2) 当 $n=2$ 时, 如果 $M>m$, 则对任意实数 $\eta \in (m,M)$, 存在至少 $S$ 中两个互异的点, 使得 $f$ 在这两点处都等于 $\eta$.