MA102a 2022春 期末

2022春数分II期末(高清重制版)

一 计算(24 分)

1-1

设 $z=xy+xf(\frac{y}{x})$, 其中 $f$ 为一元可微函数, 求 $\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}$ ．

1-2

设 $u=x{y}^2{\mathrm{e}}^{xy}$, 求 $u$ 于 $(1,1)$ 处沿 $(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})$ 的方向导数．

1-3

设 $u,v$ 是由方程组 $\{\begin{array}{l}xu-yv=1\\ yu+xv=0\end{array}$ 所确定的 $x,y$ 的可微函数, 求 $\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial v}{\partial x},\frac{\partial v}{\partial y}$(设 $x^2+y^2\ne 0$ )．

1-4

计算曲线积分 ${\int }_L{\mathrm{e}}^{\sqrt{x^2+y^2}}\mathrm{d}s$, 其中 $L$ 为圆周 $x^2+y^2=a^2$ 位于第一象限的部分

二 (12分)

设 $f(x,y)=\frac{xy}{3x^2+2y^2}((x,y)\ne (0,0));f(0,0)=0$

2-1

$f(x,y)$ 于 $(0,0)$ 处是否连续？给出理由．

2-2

$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)$ 是否存在？如果存在, 求出它们的值．

三 (16 分)

对以下 ${\mathbb{R}}^2$ 中的点集 $E$, 求出其内部 $E^{\circ }$ 与闭包 $\overline{E}$, 并指出哪些是区域, 哪些是闭区域(无需写出理由)

3-1

$E=\{(x,y):\frac{x^2}{4}-1\le y\le 2-x\}$

3-2

$E=\{(x,y):x^2+y^2\ne 1\}$

3-3

$E=\{(x,y):0<x^2+y^2<1\}$

3-4

$E=\{(x,y):xy=1\}$

四 (10 分)

计算 $I={\iint }_D(x^2{y}^2+xy)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$, 其中 $D=\{(x,y):|x|+|y|\le 1\}$

五 (10 分)

设 $f(x,y)$ 是 $D=\{(x,y):x^2+y^2\le r^2\}$ 上的非负连续函数证明：若 $A=\sqrt{a^2+b^2}>r$, 则有

$$\frac{m}{A+r}\pi r^2\le {\iint }_D\frac{f(x,y)}{\sqrt{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\le \frac{M}{A-r}\pi r^2$$

其中 $M=max\{f(x,y):(x,y)\in D\},m=min\{f(x,y):(x,y)\in D\}$ ．

六 (10 分)

计算 $I={\iint }_{\mathrm{\Sigma }}{x}^2\mathrm{d}y\mathrm{d}z+y^2\mathrm{d}z\mathrm{d}x+z^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y$, 其中 $\mathrm{\Sigma }$ 是由曲面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 和平面 $z=1$ 围成的三维有界区域的表面外侧

七 (10 分)

计算曲线积分 ${\int }_{\mathrm{\Gamma }}\frac{y\mathrm{d}x-x\mathrm{d}y}{x^2+y^2}$, 其中 $\mathrm{\Gamma }$ 为平面上的闭曲线 $x^2+4y^2-2\sqrt{3}x-1=0$, 方向为逆时针方向

八 (8 分)

用 Lagrange 乘数法求平面曲线 $a{x}^2+2bxy+c{y}^2=1$ 上的点到原点的最远距离和最近距离, 其中 $a,b,c$ 皆为正数, 且 $ac-b^2>0$