2024春数学分析期中(回忆版)

一

1-(1)

设 $z=e^u\ln v,u=\frac{x}{y},v=x+4y$, 求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ ；

1-(2)

求函数 $f(x,y)=\sqrt{1-x^2}+\sqrt{y^2-1}$ 于点 $D=(\frac{1}{2},-\frac{3}{2})$ 处, 沿方向 $u=(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$ 的方同导数 $\frac{\partial f}{\partial u}(p)$

1-(3)

计算曲线 $x=t^2,y=t^3,(0⩽t⩽1)$ 的弧长；

1-(4)

计算曲线 $x=a$ cost, $y=b\mathrm{sint},z=0$ 的曲率, 其中 $0<b<a,0⩽t⩽2\pi$, 并指出曲率的最大值与最小值

二

讨论当实数 $\alpha$ 取何值时, 以下极限存在: $\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}{f}^{\alpha -1}(x,y)\sin \frac{1}{x^2+y^2}$,

其中 $f(x,y)=max\{|x|,|y|\}$, 若极限存在, 求其值.

三

3-(1) 选择填空

设 $f(x)$ 是区间 $[a,b]$ 上的有界函数, $D(f)$ 是 $f$ 的所有间断点构成的集合, 则 $f(x)\mathrm{于}[a,b]$上Riemann可积的充分必要条件是( ).

A.$D(f)$ 为空集；

B.$D(f)$ 为有限集；

C.$D(f)$ 为可数集；

D.$D(f)$ 为Lebesgue 零测集.

3-(2)

设由函数 $f(x)={(x-\frac{1}{2})}^{2}D(x)$, 其中 $D(x)$ 为 Dirichlet 函数, 即当 $x$ 为有理数时取值为 1, 当 $x$ 为无理数时取值为 0.问 $f(x)$ 于区间 $[0,1]$ 上是否可积? 给出理由.

四

设 $C_i\in R^n$, ( $i=1,2,\cdots ,m$ )均为紧致集( $m$ 为有限正整数), 证明: 这些点集合的并集 $C=\bigcup _{i=1}^m{C}_i$ 为紧致集

五

计算由平面曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

位于 $a⩽x⩽2a$ 弧段绕 $x$ 轴旋转一周所形成的旋转体体积与旋转面面积

提示: 可使用以下公式 $\int \sqrt{x^2-a^2}dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^2-a^2}-\frac{a^2}{2}\ln (x+\sqrt{x^2-a^2})+C$

六

椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,(a,b,c>0)$, 过点 $(1,1,2)$, 且该点处的切平面为 $4x+2y+3z=12$, 求 $a,b,c$ 的值

七

设由映射 $f(x,y,z)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{x+y+z}{xyz})$

$$g(u,v)=\left(\begin{array}{c}a\sin u\cos v\\ a\sin u\sin v\\ a\cos u\end{array}\right)$$

求复合映射 $f\circ g$ 的 Jacobi 矩阵

八

设二元函数 $f(x,y)$ 定义如下:

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^{2}y}{x^2+y^2},& x^2+y^2\ne 0\\ 0,& x^2+y^2=0\end{array}$$

证明: ( 1$)f(x,y)\mathrm{于}(0,0)$ 处沿任何方向的方向导数皆存在；

(2) $f(x,y)\mathrm{于}(0,0)$ 处不可微