2023 春数学分析 期中(回忆版)

一 计算

(1) 设 $z=x^y+\sin \left(x^{2}y\right),x>0,y>0$, 求 $\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial x}{\partial y},dz$

(2) 设 $f(x,y,z)=\ln (x+y^2+z^3),x>0,z>0$, 求 $f(x,y,z)$ 在点 $(1,1,1)$ 处沿方向 $(\frac{\sqrt{3}}{4},\frac{1}{2},\frac{3}{4})$ 的方向导数

二 计算

(1) 设 $f(x,y,z)=\ln (1+x^2)+e^y+\sin z,g(\theta ,\phi )=(\sin \theta \cos \phi ,\sin \theta \sin \phi ,\cos \theta )$, 求 $h(\theta ,\phi )=f\circ g$ 的 Jacobi 矩阵.

(2) 方程 $x^3-7xy+y^3+5=0$ 在点( 1,1 ) 和( 1,2 ) 近旁分别确定了函数 $y=f_1(x),y=f_2(x)$.求 $f_1^{\prime }(1)$ 和 $f_2^{\prime }(1)$

三, 设 $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上可积的非负函数.

(1) 试证明: $\sqrt{f(x)}$ 在 $[a,b]$ 上可积.

(2) 若 $f(x)>0$, 问 $\frac{1}{\sqrt{f(x)})}$ 在 $[a,b]$ 上是否必可积? 若是, 请证明；若态, 请举例.

四

设平面点集 $D=\{(x,y)=y^2\le x\le 2-y,0\le y\le 1\}$.求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周, 在空间中形成的旋转体 $\mathrm{\Omega }$ 的体积和表面积.

五

(1) 计算空间曲线( $a{e}^{-t}\cos t,a{e}^{-t}\sin t,bt),a>0,b>0$ 上每一点处的切何量和曲率

(2) 写出曲面 $z=6-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$ 在点 $(a,b,4)$ 处的切平面方程.

六, 证明以下命题

(1) $R^n(n⩾2)$ 中以原点为心的单位球面 $S^{n-1}$ 是紧致集.

(2) 若 $f$ 是 $S^{n-1}$ 上的连续函数且不为常数, 则在在实数 $\alpha <\beta$, 使得 $f\left(S^{n-1}\right)=[\alpha ,\beta ]$.

七

设 $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^{3}y}{x^6+y^2},& (x,y)\ne (0,0)\\ 0,& (x,y)=(0,0)\end{array}$

试证明: $f(x,y)$ 于 $(0,0)$ 处沿任何方向的方向导数皆存在并且相等, 但 $f(x,y)$ 于 $(0,0)$ 处不连续.

八

设 $D_1,D_2$ 是 $R^n$ 中区域, $D_1\cap D_2\ne \varnothing$.判断以下命题是否正确.若是, 请证明；若否, 请举例

(1) $D_1\cup D_2$ 是区域；

(2) $D_1\cap D_2$ 是区域；

(3) $D_1\mathrm{\setminus }{\overline{D}}_2$ 是区域.