数学分析II(MA102a) 期中考试题(2023.04.16)

一 (16分) 计算

(1) 设 $z=x^y+\sin \left(x^{2}y\right),x>0,y>0$ , 求 $\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y},dz$

(2) 设 $f(x,y,z)=\ln (x+y^2+z^3),x>0,z>0$ , 求 $f(x,y,z)$ 于点 $(1,1,1)$ 处沿方向 $(\frac{\sqrt{3}}{4},\frac{1}{2},\frac{3}{4})$ 的方向导数.

二 (16分) 计算

(1) 设 $f(x,y,z)=\ln (1+x^2)+e^y+\sin z,\mathbf{g}(\theta ,\phi )=(\sin \theta \cos \phi ,\sin \theta \sin \phi ,\cos \theta )$ , $h(\theta ,\phi )=f\circ \mathbf{g}$ 求 $h$ 的Jacobi矩阵.

(2) 方程 $x^3-7xy+y^3+5=0$ 在点 $(1,1)$ 与 $(1,2)$ 的近旁分别确定了函数 $y=f_1(x),y=f_2(x)$ .试求 $f_1^{\prime }(1)$ 和 $f_2^{\prime }(1)$

三 (10分)

设 $f(x)$ 是于 $[a,b]$ 上可积的非负函数,

(1) 试证明: $\sqrt{f(x)}$ 于 $[a,b]$ 上可积；

(2) 若 $f(x)>0,\mathrm{\forall }x\in [a,b]$ , 问 $\frac{1}{\sqrt{f(x)}}$ 于 $[a,b]$ 上是否必可积? 若是, 请证明；若否, 请举例.

四 (16分)

设平面点集 $D=\{(x,y);y^2\le x\le 2-y,0\le y\le 1\}$.求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周, 在空间形成的旋转体 $\mathrm{\Omega }$ 的体积和表面积.

五 (16分)

(1) 计算空间曲线 $(a{e}^{-t}\cos t,a{e}^{-t}\sin t,bt),a>0,b>0$ , 上每一点处的切向量和曲率.

(2) 写出曲面 $z=6-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$ 在点 $(a,b,4)$ 处的切平面方程.

六 (10分)

证明以下命题:

(1) $R^n(n\ge 2)$ 中以原点为心的单位球面 $S^{n-1}$ 是紧致集.

(2) 若 $f$ 是 $S^{n-1}$ 上的连续函数且不为常数, 则存在实数 $\alpha <\beta$ , 使得 $f\left(S^{n-1}\right)=$ $[\alpha ,\beta ]$.

七 (8分)

设 $f(x,y)=\frac{x^{3}y}{x^6+y^2},x^2+y^2\ne 0,f(0,0)=0$ .试证明: $f(x,y)$ 于 $(0,0)$ 处沿任何方向的方向导数皆存在并且相等, 但 $f(x,y)$ 于 $(0,0)$ 处不连续.

八 (8分)

设 $D_1,D_2$ 是 $R^n$ 中区域, $D_1\bigcap D_2\ne \mathrm{\varnothing }$ .判断以下命题是否正确.若是, 请证明；若否, 请举例.

(1) $D_1\cup D_2$ 是区域；

(2) $D_1\cap D_2$ 是区域；

(3) $D_1\mathrm{\setminus }\overline{D_2}$ 是区域.