试题 2023春 数分二(H) 期末

一 计算

1-1

设 $f(x,y,z)=x^{3}y+x{y}^3+z^2,r$ 是一条光滑曲线, 其参数方程为

$$r=(a\cos t,a\sin t,bt),a>0,b>0,0\le t\le 2\pi$$

写出 $f$ 于 $r$ 上参数 $t=\frac{\pi }{4}$ 的点处沿 $r$ 切线方向(参数 $t$ 增加方向)的方向导数

1-2

计算曲线积分 ${\int }_L\sqrt{x^2+y^2}ds$, 其中曲线 $L$ 为 $x=a(\cos t+t\sin t),y=a(\sin t-t\cos t),0\le t\le 2\pi ,a>0$

二 计算

2-1

于平面上给定三个不在同一直线上的点 $(x_i,y_i),i=1,2,3$, 用多元函数求极值的方法, 求点 $(x^{\ast },y^{\ast })$, 使其到给定三点的距离的平方和为最小；

2-2

于平面上给定点 $(0.5,-0.2),(-0.3,0.5),(-0.2,-0.3)$, 用拉格朗日乘数法, 求椭圆周 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ 上的点到给定三个点的距离平方和的最大值与最小值

三

计算积分 ${\iiint }_{\mathrm{\Omega }}zdxdydz,\mathrm{\Omega }$ 为 $R^3$ 中由球面 $x^2+y^2+z^2=a^2,a>0$, 和锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 围成的立体

四

计算曲线积分 ${\int }_L{x}^{2}ydx+x^{3}dy$, 其中曲线 $L$ 为 $x^3+y^3=1$ 在第一象限中的部分, 从 (1,0) 到 (0,1)

五

计算曲面积分 ${\iint }_{\mathrm{\Sigma }}(x^2+3z)dydz+(x{y}^2+y{z}^2)dzdx$

其中 $\mathrm{\Sigma }$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 位于 $z\ge 0$ 部分的上侧(即其法向量与 $z$ 轴正向夹角不超过 $\frac{\pi }{2}$ )

六

设 $\sum$ 为 $R^3$ 中正则曲面, 其参数方程为 $r=r(u,v),(u,v)\in D$, 其中 $D$ 为 $(u,v)$ 平面上的有界闭区域.又设 $f$ 为 $\mathrm{\Sigma }$ 上的连续函数.试证明:

存在 $\mathrm{\Sigma }$ 上一点 $p$, 使得 ${\int }_{\mathrm{\Sigma }}fd\sigma =f(p)\sigma (\mathrm{\Sigma })$,

其中 $\sigma (\mathrm{\Sigma })$ 为 $\mathrm{\Sigma }$ 的面积

七

设 $E\subset R^2$ 是平面上有界点集, $E$ 由至多可数个点构成.证明: 若E的导集 $E^{\prime }$ 为有限集, 则 $E$ 是零面积集

八

设 $F:R^2\to R^2,F=(P,Q),P,Q$ 具有连续的偏导数. $D$ 为 $R^2$ 中有界区域, $D$ 的边界 $\partial D$ 为光滑曲线, 定向为正向.如果

$$\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)\ge \frac{\partial Q}{\partial x}(x,y),\mathrm{\forall }(x,y)\in D,$$

并且存在 $(x_0,y_0)\in D$, 使得上述不等式为严格不等, 试证明存在点 $(x^{\ast },y^{\ast })\in \partial D$, 在此点, $F$ 与 $\partial D$的切向量(沿曲线定向方向)夹角 $\theta <\frac{\pi }{2}$