2025-春-期中

一 (本题满分 20 分)

对下面 ${\mathbb{R}}^n$ 中的集合 $E$, 写出 $E^0,E^{\prime },\overline{E},\partial E$ (只需写出答案, 不需写出理由).

1-1

$n=2,E=\{(x,y):x^2+y^2<1\}$ ；

1-2

$n=2,E=\{(x,y):x>0\}$ ；

1-3

$n=2,E=\{(x,y):x\in Z,y\in Z\}$ ；

1-4

$n=3,E=\{(x,y,z):z^2\ge x^2+y^2\}$ ；

1-5

$E=\{(x_1,x_2,\dots ,x_n):x_1{x}_2\dots x_n=0\}$

二 (本题满分 20 分)

设 $l$ 是平面直角坐标系中的曲线 $y=1-|x{|}^{3/2}(-1\le x\le 1)$

2-1

求 $l$ 的弧长

2-2

求 $l$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得的旋转体的体积

三 (本题满分 15 分)

求曲线 $x=a\cos t,y=a\sin t,z=t^2$ 的曲率 ( $a$ 是常数)

四 (本题满分 15 分)

设 $F(x,y)=y^2+x+\sin (xy)$ .试证明 $F(x,y)=0$ 在 $(0,0)$ 附近存在隐函数解 $x=x(y)$, 并求 $x^{\prime }(0)$ 的值

五 (本题满分 15 分)

椭球面的参数方程为

$$x=a\sin \theta \cos \phi ,y=b\sin \theta \sin \phi ,z=c\cos \theta ,$$

这里 $a>0,b>0,c>0$ 是常数, $\theta \in [0,\pi ],\phi \in [0,2\pi )$

5-1

求椭球面的第一基本量；

5-2

求椭球面在 $\theta =\frac{\pi }{4},\phi =\frac{\pi }{4}$ 处的切平面方程

六 (本题满分 8 分)

二元函数 $f(x,y)$ 定义为:

$$f(0,0)=0\text{; 当 }{x}^2+y^2>0\text{ 时, }f(x,y)=e^{\frac{1}{x^2+y^2}}$$

请判断 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处是否可微, 并说明你的理由

七 (本题满分 7 分)

设 $E$ 是 $R^n$ 中的一个稠密集 (即对任意 $a\in R^n$ 及任意 $r\in R^{+}$, 均有 $B_r(a)\cap E\ne \varnothing$).

证明: $E^{\prime }=R^n$, 即 $R^n$ 中的每个点都是 $E$ 的极限点