试题 2024春 数分二(H) 期末

一

设函数 $y=y(x)$ 和 $z=z(x)$ 由以下方程组确定:

$$\{\begin{array}{c}{x}^3+y^3+z^3=3xyz\\ x+y+z=a\end{array}$$

其中 $a$ 为常数, 求 $\frac{dy}{dx}$ 和 $\frac{dz}{dx}$

二 计算积分

$${\iiint }_D\frac{dxdydz}{(2+x+y{)}^2}$$

其中 $D=\{(x,y,z);x\ge 0,y\ge 0,z\ge 0,x+y+z\le 1\}$

三

3-1

将如下累次积分换成其它不同次序的累次积分, 其中 $f(x,y)$ 为连续函数:

$${\int }_1^{2}dx{\int }_{2-x}^{\sqrt{2x-1}}f(x,y)dy$$

3-2

将如下依 $z,y,x$ 次序的累次积分换成依 $x,y,z$ 次序的累次积分, 其中 $f(x,y,z)$ 为连续函数

$${\int }_0^{1}dx{\int }_0^{1-x}dy{\int }_0^{x+y}f(x,y,z)dz$$

四 计算

${\int }_r{x}^2\ln ydx+\frac{x^3}{3y}dy$,

其中 $r$ 为曲线 $\sqrt{x^3}+\sqrt{y^3}=9$ 从 $(1,4)$ 到 $(4,1)$ 的一段

五

设实数 $x,y,z$ 满足条件 $x+y+z=12,x^2+y^2+z^2=56$ .用 Lagrange 乘数法, 求函数 $f(x,y,z)=x+3y+5z$ 在前述条件下的最大值

六

设 $P,Q,R\in C^{\prime }(R^3),f\in C(R^3)$, 且 $\mathrm{\Omega }$ 为 $R^3$ 中由正则封闭曲面 $\partial \mathrm{\Omega }$ 围成的区域, 满足条件

$${\iint }_{\partial \mathrm{\Omega }}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=0,$$

其中 $\partial \mathrm{\Omega }$ 的定向为区域 $\mathrm{\Omega }$ 的外侧.试证明: 存在点 $(x_0,y_0,z_0)\in \overline{\mathrm{\Omega }}$, 使得

$$(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})(x_0,y_0,z_0)=f(x_0,y_0,z_0)-M(f)$$

其中 $M(f)$ 为函数 $f$ 于 $\mathrm{\Omega }$ 上的积分平均值

$$M(f)=\frac{1}{V(\mathrm{\Omega })}{\iiint }_{\mathrm{\Omega }}f(x,y,z)dxdydz$$

$V(\mathrm{\Omega })$ 是 $\mathrm{\Omega }$ 的体积

七

设 $f$ 是 $R^n$ 到其自身的可微映射, 满足条件:

$$<f(x)-f(y),x-y>\ge \alpha \parallel x-y{\parallel }^2,\mathrm{\forall }x,y\in R^n$$

其中 $<\cdot ,\cdot >$ 为 $R^n$ 中内积, $\alpha >0$ 为实数.试证明:

7-1

det $Jf(x)\ne 0,\mathrm{\forall }x\in R^n$, 其中 $Jf(x)$ 为映射 $f$ 于 $x$ 处的 Jacobi 矩阵；

7-2

$f(R^n)=R^n$

八

设 $f(x,y)$ 于闭区域 $D=\{(x,y),x^2+y^2\le 1\}$ 上连续, 于 $D$ 内部有连续偏导数.当 $(x,y)\in \partial D$ 时, $f(x,y)=0$, 试证明:

$\underset{ϵ\to 0^{+}}{lim}{\iint }_{{ϵ}^2\le x^2+y^2\le 1}\frac{1}{x^2+y^2}(x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y})(x,y)dxdy=-2\pi f(0,0)$