2023 秋 数学分析I 期中(回忆版)

一, 计算题

1-(1)

求极限 $\underset{x\to 64}{lim}\frac{\sqrt{x}-8}{\sqrt[3]{x}-4}$

1-(2)

求极限 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(\tan \frac{1}{n}+\cos \frac{1}{n})}^n$

1-(3)

求极限 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x-1})$

1-(4)

求极限 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{(2^x-1)\tan x+2{\sin }^{2}x}{x^2}$

1-(5)

设 $f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{|x|}{n})}^{\frac{n}{x}}$ , 求极限 $\underset{x\to 0^{+}}{lim}f(x)$ 和 $\underset{x\to 0^{-}}{lim}f(x)$ .

1-(6)

设 $f(x)=(x+1{)}^{x+2}$ , 求 $f^{\prime }(1)$

1-(7)

设 $f(x)=\arctan \frac{x}{1-x}$ , 求 $f^{\prime }(x)$ .

二

使用数列极限的 $\epsilon -N$ 定义证明: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{4n^2+2n+5}{n^2-3n-1}=4$

三

设 $f(x)$ 是定义在 $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ 上的连续函数, 且 $f(x)>x$ 对任意实数 $x$ 成立, 设 $a$ 是一个实数, 定义数列 $\left\{a_n\right\}$ 如下: $a_1=a,a_{n+1}=f\left(a_n\right)(n⩾1)$ .证明: 数列 $\left\{a_n\right\}$ 无界.

四

设 $a_n=\sin 1+\frac{1}{2}\sin \frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}\sin \frac{1}{n}$ .请判断数列 $\left\{a_n\right\}$ 是否收敛, 并证明你的结论

五

证明: 关于 $x$ 的方程

$$e^x+x^3-2x+1=0$$

至少有一个实数解.

六

函数 $f(x)$ 定义如下:

当 $|x|⩾1$ 时, $f(x)=0$ ；当 $|x|<1$ 时, $f(x)=e^{\frac{1}{1-x^2}}\sin \frac{1}{1-x^2}$

证明: $f(x)$ 在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 上一致连续.

七

设 $f(x)$ 是 $[0,1]$ 上严格单调的连续函数. 证明: 存在 $\xi \in [0,1]$ , 使得

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{2^n}(f\left(\frac{1}{2^n}\right)+f\left(\frac{2}{2^n}\right)+\cdots +f\left(\frac{2^n}{2^n}\right))=f(\xi )$$