MA101a 2021秋-期末

1 计算下列不定积分

1-a)

$\int x\ln (1+x^2)dx$

1-b)

$\int {\tan }^{3}xdx$

1-c)

$\int \frac{3x^2+6x+11}{(x+1)(x^2+2x+5)}dx$ ,

1-d)

$\int \sqrt{x^2+1}dx$

2 计算下列定积分

2-a)

${\int }_0^{\pi }x\sin xdx$

2-b)

${\int }_0^2\frac{x^3}{1+x^2}dx$

2-c)

${\int }_9^{2\pi }{\sin }^{n}xdx,n\in N$

3 求下列极限

a)$\underset{x\to 0}{lim}\frac{2\ln (1+x)-2\sin x+x^2}{{\sin }^{3}x}$

b)$\underset{x\to 0}{lim}\frac{6\sqrt[3]{1+x^2}-6\cos x-5x^2}{\ln (1+x^4)}$

4

设函数 $f(x)={(x^2+1)}^{\ln x},g(x)=\sin \left(x^2\right)$ , 计算 $f^{\prime }(x)$ 和 $g^{(50)}(0)$

5

设函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上可导, 且 $\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$ . 证明

$$\underset{x\to a+}{lim inf}{f}^{\prime }(x)=-\mathrm{\infty }$$

6

设函数 $f$ 在 $[0,1]$ 上为连续凸函数. 证明

$${\int }_0^{1}f(x)dx⩾f\left(\frac{1}{2}\right)$$

7

设 $a,b$ 是大于 0 的常数, 函数 $f$ 在 $[0,\mathrm{\infty })$ 上连续, 且满足不等式

$$f(x)⩽a+b{\int }_0^{x}f(x)dx,\mathrm{\forall }x⩾0$$

证明对于所有的 $x⩾0,f(x)⩽a{e}^{bx}$ .

8

设函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上有定义, 且满足方程 $f(x)=0$ 有无穷多个根. 证明存在 $x_0\in (a,b)$使得对于任意的 $\delta >0$ , 方程 $f(x)=0$ 在区间 $(x_0-\delta ,x_0+\delta )\cap (a,b)$ 上有无穷多个根.