MA101a-2020秋-期末

一 判断

1-(1)

$f$ 在 $R$ 上单调, 有界, 则 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}[f(x)-f(-x)]$ 存在

1-(2)

在 $[a,b]$ 上的连续函数必有原函数.

1-(3)

在 $[a,b]$ 有界的函数在 $[a,b]$ 可积.

1-(4)

$f^{\prime }$ 在 $(a,b)$ 有界, 则 $f$ 在 $(a,b)$ 一致连续.

二

用 $\epsilon -N$ 语言证明 $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\cos \frac{1}{n}=1$

三

3-(1)

求 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x+e^{-x}-2}{1-\cos x}$

3-(2)

求 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{\sin }^3\frac{k\pi }{n})$

四

4-(1)

求 $\frac{dy}{dx},y=(\sin x{)}^{\tan x},0<x<\frac{\pi }{2}$

4-(2)

求 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2},y=x{\int }_0^x\sin \left(t^2\right)dt$

五

5-(1)

求 ${\int }_0^{\ln 2}\frac{e^{x}dx}{e^{2x}+1}$

5-(2)

求 ${\int }_0^1{(1-x^2)}^{\frac{3}{2}}dx$

5-(3)

求 ${\int }_1^2\frac{\ln (x+1)}{x^3}dx$

六

$f(0)=0$ , $f^{\prime }(0)$ 存在, 求证 $\underset{x\to 0^{+}}{lim}{x}^{f(x)}=1$

七

写出 $f(x)=\sqrt[3]{2-\cos x}$ 的 Mclourin 展开式到 $x^4$ .

八

定义在 $R$ 上的函数 $f$ 恒正, 可导

$f(0)=1,|f^{\prime }(x)|⩽\frac{1}{f(x)},\mathrm{\forall }x\in R$

求 $f(2020)$ 可能取得到的最大值.

九

$f$ 在 $[0,1]$ 连续, 求证:

$$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^{1}2nx{(1-x^2)}^{n-1}f(x)dx=f(0)$$