南方科技大学

2024 - 2025 学年秋季学期 数学分析 I 期中试卷

本试卷共七道大题，满分 100 分

一、计算题（要求写出详细的计算过程，每小题 6 分，共 36 分）

1-1

求极限 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{n}{)}^{3n+1}$

1-2

设 $y=\ln (x+\frac{1}{x})$，求 $y^{\prime }$

1-3

设 $f(x)=\mid \sin x{\mid }^3$，求 $f^{\prime }(x)$

1-4

求极限 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\ln (\arctan x)$

1-5

设 $f(x)=\frac{e^x\arctan x}{x}$，求 $f^{\prime }(x)$

1-6

求极限 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin ({\sin }^{2}x)}{1-\cos x}$

二、（本题满分 10 分）

用 $\epsilon -\delta$ 定义证明：$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\sqrt{6x-x^2}=0$

三、（本题满分 15 分）

考虑函数

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2\sin \frac{1}{x},& x\ne 0\\ 0,& x=0\end{array}$$

3-1

求 $f^{\prime }(0)$ 的值

3-2

证明：导函数 $f^{\prime }(x)$ 在 $x=0$ 处不连续

四、（本题满分 15 分）

设

$$a_n=\sum _{i=1}^n\sin \frac{i}{n^2},b_n=\sum _{i=1}^n\frac{i}{n^2},c_n=\sum _{i=1}^n\tan \frac{i}{n^2},(n=1,2,\dots )$$

4-1

证明：$a_n<b_n<c_n$

4-2

求 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{c_n}$

4-3

求 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n$

（注：本题可以直接使用关于 $\sin x$，$x$ 与 $\tan x$ 的不等式）

五、（本题满分 8 分）

设函数 $f$ 在区间 $I$ 上一致连续，且对任意 $x\in I$ 均有 $\mid f(x)\mid >1$。

证明：$\frac{1}{f(x)}$ 也在区间 $I$ 上一致连续。

六、（本题满分 8 分）

设数列 $\{a_n\}$ 满足，对任意 $\epsilon >0$，存在实数 $f(\epsilon )$ 和正整数 $N$，使得 $\mid a_n-f(\epsilon )\mid <\epsilon$ 对一切 $n>N$ 成立。

证明：$\{a_n\}$ 收敛，且

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{lim}f(\epsilon )$$

七、（本题满分 8 分）

求极限

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{\ln (1+\frac{1}{i})}{\sin \frac{1}{i}}$$