南方科技大学

2022-2023 学年秋季学期 数学分析 I 期中试卷

本试卷共七道大题，满分 100 分

一、求下面极限，并写出计算过程（每小题 5 分，共 30 分）

1-1

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{9n^3-2n+32}{2n^3-n^2-1}$$

1-2

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}}{x}$$

这里 $a>0$ 为常数

1-3

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin (5(x+\pi ))}$$

1-4

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}x(\ln (x+1)-\ln x)$$

1-5

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n\cos n}{n^2+1}$$

1-6

$$\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^{30}-2x^{15}+1}{x^{30}-3x^{10}+2}$$

二、（本题满分 12 分）

使用函数极限的 $\epsilon -\delta$ 定义证明：

$$\underset{x\to 1^{-}}{lim}\frac{[4x]}{1+x}=\frac{3}{2}$$

三、（本题满分 12 分）

设 $a>0,b>0$，证明：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}}=\frac{1}{min\{a,b\}}$$

四、（本题满分 10 分）

设函数 $f$ 在开区间 $(a,b)$ 上连续且非负，满足条件：

$$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)=0,\underset{x\to b^{-}}{lim}f(x)=0$$

证明：存在 $\xi \in (a,b)$，使得 $f(\xi )\ge f(x)$ 对任意 $x\in (a,b)$ 成立。

五、判断下面命题是否正确，若是，请证明；若否，请说明你的理由（每小题 5 分，共 20 分）

5-1

设数列 $\{b_n\}$ 的每项都不为 $0$，且 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=b\ne 0$。令 $a_n=\frac{\alpha b_{n+2}+\beta b_{n+1}}{b_n}$，这里 $\alpha ,\beta$ 是常数，则数列 $\{a_n\}$ 收敛。

5-2

若存在 $k\in {\mathbb{N}}^{+}$，使得对任意 $\epsilon >0$，存在正整数 $N$ 满足，当 $n>N$ 时，总有

$$|a_{n+k}-a_n|<\epsilon$$

则数列 $\{a_n\}$ 收敛。

5-3

函数 $f(x)=\tan x$ 在 $[-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}]$ 上一致连续。

5-4

设 $f(x)=g(x)\cdot h(x)$，$x\in (0,+\mathrm{\infty })$，这里 $g(x),h(x)$ 在 $(0,+\mathrm{\infty })$ 上一致连续，则 $f(x)$ 也在 $(0,+\mathrm{\infty })$ 上一致连续。

六、（本题满分 8 分）

设实数 $a,b$ 满足 $a>0,\ln (1+a)<b<a$。令

$$f(x)=b-x\ln (1+\frac{a}{x})$$

6-1

证明：$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)$ 存在且有限

6-2

证明：存在实数 $t>1$，使得 $t\ln (1+\frac{a}{t})=b$

七、（本题满分 8 分）

设 $f$ 在 $[1,+\mathrm{\infty })$ 上有定义。已知对任意 $a,b\in [1,+\mathrm{\infty })$，均有

$$f(a)+\frac{1}{a}>f(b)-\frac{1}{b}$$

证明：$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)$ 存在且有限