2020-2021秋数学分析期中(回忆版)

一 判断题

1-1

设函数 $f$ 在 $x=0$ 处连续.若 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)}{x}$ 存在, 则 $f(0)=0$

1-2

若 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x+h^2)-f(x)}{h^2}$ 存在, 则 $f$ 在 $x$ 处连续

1-3

存在数列 $\{a_n\}$ , 使得每个实数都是 $\{a_n\}$ 的极限点

1-4

若函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续, 在 $(a,b)$ 上可导, 则 $f^{\prime }$ 在 $(a,b)$ 上有界

1-5

若函数 $f$ 在区间 $I$ 上一致连续, 且 $f$ 存在反函数 $f^{-1}$, 则 $f^{-1}$ 在其定义域上也一致连续

1-6

若函数 $f$ 在区间 $I$ 上连续且是单射, 则 $f$ 在 $I$ 上严格单调

1-7

若函数 $f,g$ 均在区间 $I$ 上一致连续, 且对任意 $x\in I$ 均有 $|g(x)|>1$, 则 $\frac{f}{g}$ 也在区间 $I$ 上一致连续

二

计算下列函数的导数

2-1

$y={\log }_{x}2(x>0,x\ne 1)$

2-2

$y=x^2(x>0)$ ；

2-3

$y=|\sin x{|}^3$

三

设 $0<x<1$, 证明: $2x<\ln \frac{1+x}{1-x}<\frac{2x}{1-x^2}$

四

设函数 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上可导, 且对任意 $x\in \mathbb{R}$ 有 $f^{\prime }(x)=f(x)$.证明: 存在实常数 $C$, 使得 $f(x)=C{e}^x$

五

已知函数 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续, 且 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$.证明: $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上有最小值

六

设函数 $f$ 在 $[x_0,x_0+\delta ]$ 上连续, 在 $(x_0,x_0+\delta )$ 上可导, 且 $\underset{x\to x_0}{lim}{f}^{\prime }(x)$ 存在.证明: $f$ 在 $x_0$ 处有右导数, 且 $f_{+}^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0^{+}}{lim}{f}^{\prime }(x)$

七

设 $f(x)$ 在 $(0,+\mathrm{\infty })$ 上可导, 且对于任意 $x\in (0,+\mathrm{\infty }),|f^{\prime }(x)|<\frac{1}{x^2}$.证明: $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)$ 存在

八

设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续, 在 $(a,b)$ 上有二阶导数, 且 $f(a)=f(b)=0$.设 $x_0\in (a,b)$, 证明: 存在 $\xi \in (a,b)$满足 $f^{\prime \prime }(\xi )=\frac{2f(x_0)}{(x_0-a)(x_0-b)}$

九

仅使用有限覆盖定理, 证明闭区间上的连续函数必然一致连续