MA101a-2025秋-期末

一、计算题（6 小题）

1-1

求 $\underset{x\to 1^{-}}{lim}\frac{e^x-ex}{(\arccos x{)}^4}$

1-2

求 ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{3}x{\cos }^{2}xdx$

1-3

求 $\int x^2\ln xdx$

1-4

求 $\int e^{2x}\sin 3xdx$

1-5

求 $\int \frac{\sqrt{x-1}}{x}dx$

1-6

求 $\int \frac{\arctan x}{(1-x{)}^2}dx$

二、证明题（10 分）

设 $f(x)\in [a,b]$, 且 $f(a)=f(b)=0$, 求证：$\mathrm{\exists }\xi \in (a,b)$ s.t. $f^{\prime }(\xi )=f(\xi )$

三、证明题

设 $f(x)$ 为 $[a,b]$ 上的凸函数且可积, 求证：

$$f\left(\frac{a+b}{2}\right)\le \frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx\le \frac{f(a)+f(b)}{2}$$

（这是Hermite-Hadamard 不等式）

四、证明题

求证 $\mathrm{\exists }c$ 满足以下条件且求 $c$：

对 $\mathrm{\forall }\epsilon >0$, $\mathrm{\exists }\delta >0$ s.t. $1=x_0<x_1<\cdots <x_n=2$, $x_i-x_{i-1}<\delta$ 有

$$|\sum _{i=1}^n\frac{x_i-x_{i-1}}{x_i}-c|<\epsilon$$

五、证明题

$f_n(x)=e^{-x}{(1+\frac{x}{n})}^n$, 求证：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^1|f_n(x)-e^{-\frac{x^2}{2n}}|dx=0$$

六、证明题

设 $f(x)$ 单调增且 $f(1)=1$, $f(3)=3$, 设 $g(x)$ 为 $f(x)$ 反函数, 若 $f(x)$, $g(x)$ 都可积, 求证：

1. 对 $\mathrm{\forall }x\in [1,3]$, $[f(x)-x][g(x)-x]\le 0$
2. ${\int }_1^3[f(x)+g(x)]dx=8$
3. ${\int }_1^3\frac{f(x)g(x)}{x}dx\le 4$

七、证明题

$F(x)={\int }_0^x{e}^{[y]}dy$, $G(t)=\underset{x\ge 0}{inf}[F(x)-tx]$, 求 $\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{G(t)}{t\ln t}$