南方科技大学

2024-2025 学年秋季学期 数学分析 I 期末试卷

一、计算题（1-5 每小题 5 分，第 6 题 12 分，共 42 分）

(1) 求不定积分 ${\displaystyle \int \frac{dx}{e^x+e^{-x}}}$

(2) 求不定积分 ${\displaystyle \int \frac{2x^3+3x}{(x-1{)}^2(x^2+2x+2)}dx}$

(3) 求定积分 ${\displaystyle {\int }_0^2(2-x)\sqrt{4x-x^2}dx}$

(4) 求极限 ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{{(1+\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2})}^{x^2}}{e^x}}$

(5) 求极限 ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}(e^{\frac{1}{n}}+e^{\frac{2}{n}}+\cdots +e^{\frac{n}{n}})}$

(6) 求定积分 ${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{{\sin }^{3}x}{{\cos }^{4}x}dx}$ 和 ${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{{\sin }^{4}x}{{\cos }^{6}x}dx}$

二、（本题满分 12 分）

用 $\epsilon -N$ 语言证明：${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2n+4}{4n-5}=\frac{1}{2}}$

三、（本题满分 15 分）

设 $f(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上连续，且有连续且非负的三阶导数，证明：

$$f(1)\ge f(-1)+2f^{\prime }(0)$$

四、（本题满分 15 分）

设 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，${\displaystyle F(x)={\int }_0^{x}f(x^2+t)dt}$，求 $F^{\prime }(x)$

五、（本题满分 8 分）

设 $f$ 在 $(a,b)$ 上可导，且 ${\displaystyle \underset{x\to b^{-}}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }}$，证明：

$$\underset{x\to b^{-}}{lim sup}{f}^{\prime }(x)=+\mathrm{\infty }$$

六、（本题满分 8 分）

设 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续，证明：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}({\int }_0^{\frac{\pi }{2}}n\sin x{\cos }^{n-1}x\cdot f(x)dx)=f(0)$$