南方科技大学

2023-2024 学年秋季学期 数学分析 I 期末试卷

本试卷共七道大题，满分 100 分

一、计算题（每小题 5 分，共 25 分）

1-1

求积分 ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}si{n}^{3}xco{s}^{5}xdx$

1-2

求积分 ${\int }_0^{\pi }{x}^{2}sinxdx$

1-3

求极限 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\pi }{6n}(tan\frac{n+1}{6n}\pi +tan\frac{n+2}{6n}\pi +\cdots +tan\frac{2n}{6n}\pi )$

1-4

求积分 ${\int }_0^1\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{3}{4}}+1}dx$

1-5

求极限 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{2}(1+\frac{ln2}{n}{)}^n{)}^n$

二、（本题满分 10 分）

设 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^{2}sin(\frac{1}{ln|x|})& (x\ne 0)\\ 0& (x=0)\end{array}$，求 $f^{\prime }(x)$

三、（本题满分 15 分）

3-1

设 $x,y$ 满足 $x^3+y^3-3axy=0$ （$a>0$ 是常数），求 $\frac{dy}{dx}$

3-2

设 $f(x)={\int }_x^{x+1}ln(1+t^2)dt$，求 $f^{\prime }(x)$

四、（本题满分 10 分）

求单位圆的内接等腰三角形面积的最大可能值

五、（本题满分 10 分）

设 $f(x)$ 定义在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 上，且在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 上有连续的二阶导数。已知对任意实数 $x$，均有 $f(x)\le 0,f^{″}(x)\ge 0$。证明：$f$ 恒为常数

六、（本题满分 10 分）

设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 均在 $x_0$ 的某个邻域内有定义，且 $f^{\prime }(x_0)$ 和 $g^{\prime }(x_0)$ 均存在。设 $h(x)=max\{f(x),g(x)\}$。已知 $h(x)$ 在 $x_0$ 处不可导，证明：

$f(x_0)=g(x_0),f^{\prime }(x_0)\ne g^{\prime }(x_0)$

七、（本题满分 10 分）

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上有连续的导数，且 ${\int }_0^{1}f(x)dx=f(1)-1$

7-1

求积分 ${\int }_0^{1}x{f}^{\prime }(x)dx$ 的值

7-2

证明：存在 $x\in (0,1)$，使得 $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$

八、（本题满分 10 分）

设 $f(x)$ 在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 上二阶可导，且 $f(-1)=2,f(0)=0,f(1)=4$

证明：存在 $\xi \in (-1,1)$，使得 $f^{″}(\xi )=6$